Slabá kardinální mocnina

Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.

DefiniceEditovat

Jsou-li   a   dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem   a definujeme vztahem
  , tj. jako součet všech kardinálních mocnin   s exponentem menším než  .

Motivace pro zavedeníEditovat

Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:

  •  
  •  

Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny   s mohutností přesně   a množina všech podmnožin množiny   s mohutností menší než  

Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:
Pokud platí   a   (symbol   je nejmenší kardinální číslo větší než  ), potom
 

Příklad použitíEditovat

V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.

Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:

Je-li   singulární kardinál,   takové, že pro každé   platí  , potom
 

Je-li   singulární kardinál a pro každé   existuje  , pro které platí  , potom
 

Související článkyEditovat