Pythagorova věta o energii

Ve fyzice je Pythagorova věta o energii vztah mezi energií a hybností částice, který vyplývá ze speciální teorie relativity:

Vztah si lze snadno zapamatovat jako Pythagorovu větu pro trojúhelník o stranách , a .

značí celkovou energii částice, je její klidová energie, je velikost hybnosti a je rychlost světla ve vakuu. Klidová energie je přímo úměrná hmotnosti částice podle vztahu .[pozn 1]

Částice s nulovou hmotnostíEditovat

Foton a některé další částice mají nulovou klidovou hmotnost. Dosadíme-li   do Pythagorovy věty o energii, vztah se výrazně zjednoduší:

 

Částice tedy nese hybnost, která je přímo úměrná její energii. Další významný důsledek lze nahlédnout, uvážíme-li relativistickou definici hybnosti:

 [pozn 2]

kde   a   jsou vektory hybnosti, resp. rychlosti částice. Dosadíme-li do této rovnice energii  , zjistíme, že je splněna pouze tehdy, je-li velikost rychlosti rovna  . Jinými slovy částice s nulovou klidovou hmotností se musí vždy vůči libovolnému pozorovateli pohybovat rychlostí  .

Částice s nenulovou hmotnostíEditovat

Stejně jako v předchozí sekci dosadíme Pythagorovu větu o energii do vztahu pro velikost hybnosti:

 

Je-li rychlost   menší než  , můžeme z tohoto vztahu vyjádřit hybnost:

 

kde   je Lorentzův faktor. Hmotná částice se tedy bude pohybovat vždy rychlostí menší než  , i když jí dodáme libovolně velkou hybnost.

Na druhou stranu vezmeme-li definici hybnosti a dosadíme do Pythagorovy věty o energii:

 

můžeme z této rovnice vyjádřit celkovou energii částice:

 

Opět je vidět, že částice s nenulovou hmotností se bude pohybovat vždy pomaleji než  , i když jí dodáme libovolnou energii.
Pokud by se částice nepohybovala, můžeme za hybnost dosadit nulu a vychází nám  .

Kinetická energieEditovat

Kinetická energie je rozdíl mezi energií částice v pohybu a v klidu:

 

Nemá-li částice klidovou hmotnost ( ), je  . V tomto smyslu je energie částice s nulovou klidovou hmotností „čistě“ kinetická.

Pro částice s   je kinetická energie v souladu s předchozími vztahy rovna:

 

Taylorovým rozvojem tohoto výrazu lze ukázat, že při malých rychlostech dostatečně přesně platí vztah  , což souhlasí s klasickou dynamikou popsanou Newtonovými zákony pohybu. Při velkých kinetických energiích se však rychlost pouze blíží   a nikdy tuto hranici nepřekročí.

ČtyřhybnostEditovat

Všechny vztahy ve speciální teorii relativity lze přirozeně zapisovat pomocí čtyřvektorů. Jedním z nejdůležitějších je čtyřhybnost, která spojuje energii a hybnost částice. Vypočteme-li skalární součin tohoto 4-vektoru se sebou samým, obdržíme právě Pythagorovu větu o energii.

PoznámkyEditovat

  1. V tomto článku proměnná   označuje klidovou hmotnost částice, která nezávisí na volbě vztažné soustavy (na rychlosti částice vůči pozorovateli). V moderních publikacích o fyzice se již nepoužívá koncept tzv. relativistické hmotnosti, která na rychlosti závisí.
  2. Výraz   je relativistická hmotnost zmíněná v předchozí poznámce. Zde ji jako hmotnost neoznačujeme, protože nemá přímý fyzikální význam a nepřináší nic nového oproti veličině  .

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat