Problém osmi dam

šachový problém

Problém osmi dam je šachová úloha, respektive kombinatorický problém umístit na šachovnici osm dam tak, aby se podle pravidel šachu navzájem neohrožovaly, tedy vybrat osm polí tak, aby žádná dvě nebyla ve stejné řadě, sloupci, ani diagonální linii. Obecněji jde o to nalézt všechna možná taková rozmístění nebo určit jejich počet.

abcdefgh
8
Chessboard480.svg
d8 bílý dáma
g7 bílý dáma
c6 bílý dáma
h5 bílý dáma
b4 bílý dáma
e3 bílý dáma
a2 bílý dáma
f1 bílý dáma
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Základní řešení vyprodukované obecným heuristickým algoritmem, začínající jako skoky jezdcem z a2 vzhůru doprava

Úlohu lze zobecnit na problém n dam, tedy otázku, jak lze rozmístit n dam na šachovnici o rozměrech n×n tak, aby se vzájemně neohrožovaly. Často se využívá při výuce programování, jelikož umožňuje názorný výklad backtrackingových algoritmů.

Historie úlohyEditovat

Problém osmi dam poprvé zveřejnil v berlínském časopise Schachzeitung v roce 1848 Max Bezzel.[1] V dalších letech se problému věnovalo mnoho slavných matematiků včetně Gausse.[2] Zobecnění problému na n dam navrhl v roce 1850 Franz Nauck, který také správně stanovil počet všech řešení původního problému. V roce 1874 navrhl Siegmund Günther metodu řešení úlohy pomocí determinantů, kterou poté vylepšil James Whitbread Lee Glaisher.[3]

Počet řešeníEditovat

Problém osmi dam má 92 různých řešení (uvažují se pochopitelně jako kombinace, tedy bez vzájemného rozlišování jednotlivých dam). Těchto 92 řešení však lze získat pomocí symetrie (otočením a zrcadlením podle čtyř os) z dvanácti základních řešení – 11 má osm symetrií, jedno jen čtyři, neboť je samo středově symetrické.

Počet všech řešení problému n dam na n x n šachovnici se započtením symetrie i bez pro malá n je následující (pro n = 1 existuje jediné triviální řešení, pro 2 a 3 žádné). Existuje domněnka, že počet řešení se asymptoticky chová jako n!/cn, kde c je kolem 2,54.

n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 .. 24 25 26
Všechna řešení[4] 2 10 4 40 92 352 724 2 680 14 200 73 712 365 596 2 279 184 14 772 512 .. 28 439 272 956 934 275 986 683 743 434 2 789 712 466 510 289
Symetrická jen jednou[5] 1 2 1 6 12 46 92 341 1 787 9 233 45 752 285 053 .. 227 514 171 973 736 2 207 893 435 808 352 22 317 699 616 364 044

Přehled základních řešeníEditovat

Dvanáct základních řešení problému osmi dam je zobrazeno na následujících diagramech:

abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 1
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 2
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 3
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 4
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 5
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 6
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 7
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 8
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 9
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 10
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 11
abcdefgh
88
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
Řešení 12 (středově symetrické)

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  1. Hans Siegfried: Max Friedrich Wilhelm Bezzel Archivováno 28. 8. 2006 na Wayback Machine na stránkách šachového oddílu Ansbach (německy)
  2. Frank Ruskey, Susan Ruskey: Information on the n Queens problem Archivováno 14. 12. 2007 na Wayback Machine, červen 1996, The Amazing Mathematical Object Factory (anglicky)
  3. J. J. O’Connor, E. F. Robertson: Mathematical games and recreations (anglicky)
  4. Number of ways of placing n nonattacking queens on n X n board., posloupnost A000170 v On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  5. Number of ways of placing n nonattacking queens on n X n board (symmetric solutions count only once), posloupnost A002562 v OEIS

Externí odkazyEditovat