Polární rozklad

Polární rozklad je rozklad reálné (respektive komplexní) čtvercové matice na součin symetrické (respektive hermitovské) pozitivně semidefinitní matice a matice ortogonální (respektive unitární).

Reálný případEditovat

Uvažujme   a její singulární rozklad

 

kde matice   a   jsou ortogonální a matice   je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

 

Vložením šikovně rozepsané jednotkové matice,  , na vhodné místo do singulárního rozkladu, získáme hledaný polární rozklad. Možnosti jsou dvě, buď

 

kde

 

je symetrická pozitivně semidefinitní (je-li  , tj. je-li   regulární, pak je symetrická pozitivně definitní) a

 

je ortogonální. Případně

 

kde

 

je opět symetrická pozitivně (semi)definitní.

Komplexní případEditovat

Zcela analogicky uvažujme   a její singulární rozklad

 

kde matice   a   jsou unitární a matice   je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

 

Polární rozklad lze opět vyjádřit dvěma způsoby, buď

 

kde

 

je hermitovská pozitivně semidefinitní (je-li  , tj. je-li   regulární, pak je hermitovská pozitivně definitní) a

 

je unitární. Případně

 

kde

 

je opět hermitovská pozitivně (semi)definitní.

Rozšíření na obdélníkový případEditovat

Je-li matice obdélníková,   ( ) a  , matice má tedy více sloupců než řádků, lze ji, zcela analogickým postupem jako v předchozích případech zapsat jako součin

 

kde   je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice  ortonormální řádky.

Pokud je  , tedy matice má více sloupců než řádků, lze ji zapsat jako součin

 

kde   je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice  ortonormální sloupce.

Matice  , respektive   je regulární, pokud má matice   má lineárně nezávislé řádky, respektive sloupce.

Maticové identityEditovat

Následující vztahy uvádíme pouze pro komplexní případ, reálný případ je zcela analogický.

Obecně, je-li matice   čtvercová, nebo obdélníková s více sloupci než řádky, platí

 

Je-li matice čtvercová, nebo obdélníková s více řádky než sloupci, platí

 

Viz definici odmocniny z matice.

Rozklady

 

představují zároveň Schurovy i Jordanovy rozklady matic   a  .

Singulární čísla  ,   matice   tedy představují vlastní čísla matic   a  .

AplikaceEditovat

Polární rozklad (reálné čtvercové regulární matice) nachází uplatnění zejména v klasické mechanice, kde slouží, v maticovém popisu, k oddělení deformace tělesa (reprezentované symetrickou pozitivně definitní maticí) od pohybu tuhého tělesa, přesněji změny souřadného systému (reprezentované ortogonální maticí).

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat

  • J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6. (Kapitola 5.8, Polární rozklad a exponenciální tvar čtvercové matice, str. 142-143)
  • M. Fiedler: Speciální matice a jejich užití v numerické matematice. SNTL, Státní nakladatelství technické literatury, edice TKI, Teoretická knižnice inženýra, 1981. (Věta 2.29, str. 63)