Otevřít hlavní menu

Paralelní přenos je způsob, jakým lze vytvořit rovnoběžný vektor k jinému vektoru v libovolně zakřiveném prostoru (nebo prostoročase).

OdvozeníEditovat

Mějme v lokálním inerciálním systému dva body a mezi nimi libovolnou křivku, jejíž parametrizaci označíme jako  . V jednom z těchto bodů mějme vektor   (index  označuje jeho složky). Vektor k němu rovnoběžný ve druhém bodě vytvoříme tak, že budeme   přenášet podél definované křivky paralelně, tj. za splněné podmínky

  .

Vektor, který je rovnoběžný ke křivce, označíme  . Z definice platí pro jeho složky

 ,

kde   značí složky polohového vektoru v lokálním inerciálním systému. Pak z předchozí rovnice plyne

 

(zde symbol   znamená derivaci podle souřadnice).

Označíme-li polohové vektory v obecných souřadnicích  , pak transformace vektoru   na   je dána vztahem

 

Po dosazení do první rovnice dostaneme

 .

Přeznačením indexů u prvního výrazu z   na   a vynásobením   přejde rovnice na

 ,

což lze také zapsat jako

  ,

kde   jsou složky afinní konexe. Toto je rovnice pro paralelní přenos.

Rovnice geodetikyEditovat

Rovnici paralelního přenosu

 

lze také zapsat pomocí kovariantní derivace jednoduše jako

  nebo   .

Pokud přenášíme rovnoběžný vektor

  ,

dostaneme rovnici geodetiky

  .