Otevřít hlavní menu

Lambda kalkul je formální systém a výpočetní model používaný v teoretické informatice a matematice pro studium funkcí a rekurze. Jeho autory jsou Alonzo Church a Stephen Cole Kleene. Lambda kalkul je teoretickým základem funkcionálního programování a příslušných programovacích jazyků, obzvláště Lispu.

Lambda kalkul analyzuje funkce nikoli z hlediska původního matematického smyslu zobrazení z množiny do množiny, ale jako metodu výpočtu. Dá se chápat jako jednoduchý univerzální programovací jazyk. Je univerzální, neboť libovolnou rekurzivně spočetnou funkci lze vyjádřit a vyčíslit pomocí tohoto formalismu, lambda kalkul je tedy výpočetní silou ekvivalentní Turingovu stroji.

Tento článek se bude zaobírat netypovým lambda kalkulem. Existuje totiž rozšíření zvané typový lambda kalkul.

Obsah

Základní přehledEditovat

V lambda kalkulu každý výraz popisuje funkci jednoho argumentu, který je sám funkcí jednoho argumentu, a jejímž výsledkem je opět funkce jednoho argumentu. Funkce lze definovat bez pojmenování, uvedením lambda výrazu, který popisuje, jak se z hodnoty argumentu vypočte hodnota funkce. Příkladem může být funkce „přičti dvojku“, f(x) = x + 2. V lambda kalkulu se taková funkce zapíše jako λ x. x + 2 (nebo, beze změny významu λ y. y + 2, jméno argumentu není podstatné). Aplikace takové funkce na číslo 3 se zapíše jako (λ x. x + 2) 3. Aplikace je asociativní zleva: f x y = (f x) y.

Formální popisEditovat

Mějme dány nejvýše spočetné množiny C resp. V (konstant resp. proměnných). Množinou všech lambda výrazů rozumíme množinu Λ (velká lambda) řetězů obsahujících symboly z C ∪ V ∪ {(, ), λ} takových, že:

  1. c ∈ C => c ∈ Λ
  2. v ∈ V => v ∈ Λ
  3. M,N ∈ Λ → (M N) ∈ Λ
  4. x ∈ V, M ∈ Λ → (λ x . M) ∈ Λ

V dalším budeme označovat konstanty písmeny c, d, e, …, proměnné odzadu tj. z, y, x, … a obecné λ-výrazy velkými písmeny latinky. Budeme také vynechávat závorky, tj. místo (λ x.x) budeme psát λ x.x (nebo jen λ xx). Podobně výraz λx (x y z) budeme značit jako λx . x y z. (Tečka odděluje "argumenty" λ od těla λ-výrazu a umožňuje zkrácený zápis λ xy.y ve významu λ x (λ y (y)). Jinými slovy, tečka nahrazuje levou závorku, ke které je pravá závorka co nejvíce vpravo – tj. u další pravé závorky)

Faktu, že na pojmenování (označení) vázaných proměnných nezáleží, využijeme. Tomuto se formálně říká Alfa konverze.

Příklad: Výraz λx . xy je stejný jako λw . wy.

Nechť M je libovolný λ-výraz. Množinu všech volných proměnných M značíme FV(M) a definujeme ji následovně:

  • FV(x) = {x}
  • FV(NL) = FV(N) ∪ FV(L)
  • FV(λx . N) = FV(N) - {x}

Lambda výraz M, pro který je množina FV prázdná, nazýváme uzavřeným λ-výrazem nebo také kombinátorem.

Příklad: y (λxy . λyz) obsahuje volné proměnné z, y a vázané x, y. Výraz λxy . λxy je kombinátorem.

Mnemotechnická pomůcka pro označení množin: C … constant, V … variable, FV … free variable.

Nechť M, N ∈ Λ. Výraz tvaru M=N, kde = je speciální symbol, nazýváme rovnost. Někdy se používá označení ==.

Lambda kalkul definujeme jako teorii rovností mezi λ-výrazy založenou na následujících axiomech:

  1. (λx . M) N = M[x := N] (tzv. Beta konverze)
  2. M = M
  3. M = N → N = M (asociativita)
  4. M = N ∧ N = L → M = L (tranzitivita)
  5. M = M` → ZM = ZM`
  6. M = M` → MZ = M`Z
  7. M = M` → λx . M = λx . M`

V některých učebnicích se předpokládá, že M neobsahuje y. Axiom je tedy tvaru

  • λx . M = λy . ( M[x := y] )

Pokud je v λ-kalkulu dokazatelná rovnost M=N, píšeme λ~M=N a říkáme, že λ-výrazy M, N jsou navzájem (Beta) konvertibilní. (Poznámka: použil jsem označení pomocí ~, ale v literatuře se častěji setkáte se znakem ⊥ otočeným o 90 stupňů vpravo. ( ))

Zápisem M≡N rozumíme tu skutečnost, že dva λ-výrazy jsou buď totožné, nebo je lze ztotožnit přejmenováním vázaných proměnných.

Příklad: λx . xy ≡ λx . xy, λz . xz ≡ λy . xy (alfa konverze), ale λx . xz ≠ λx . xy.

Mezi standardní kombinátory řadíme:

  • I: λx . x (identita)
  • K: λxy . x (ev. K*: λxy . y)
  • S: λxyz . xz (yz)

Tyto kombinátory dávají základ SKI kalkulu. Je vhodné si ověřit, že:

  • IM = M
  • KMN = M
  • SMNL = ML(NL)

Například druhý případ: KMN, což můžeme přepsat jako (λxy . x)MN = (λy. x[x := M])N, což je (λy . M)N = M[y := n] a to je M. Dokázali jsme, že KMN = M.

Věta o pevném boděEditovat

  1. Ke každému λ-výrazu F (F ∈ Λ) existuje X ∈ Λ tak, že FX = X.
  2. Definujeme-li (tzv. kombinátor pevného bodu) Y = λf (λx . f(xx))(λx . f(xx)), pak pro libovolná F ∈ Λ platí: YF=F(YF)

Důsledkem je tvrzení: ke každému kontextu C[f, x] (tj. λ-výrazu, který případně obsahuje proměnné f, x) existuje λ-výraz F ∈ Λ tak, že pro všechny X ∈ Λ:

FX = C[f, x][f := F][x := X]

Podtrženo a sečteno: každý λ-výraz obsahuje pevný bod a máme i kombinátor pevného bodu, pomocí kterého tento pevný bod najdeme. Je nutno si uvědomit, že v lambda kalkulu pracujeme s funkcemi (vyššího řádu), pevným bodem tedy je opět funkce.

Reprezentace objektů λ-kalkuluEditovat

Pravdivostní hodnoty kódujeme pomocí λ-výrazů T (pravda) a F (nepravda) definovaných následovně:

  • T ≡ K (λxy . x)
  • F ≡ K* (λxy . y)

Logický výraz pokud D pak P jinak Q, taky známý jako if-then-else, kde D (logická proměnná) nabývá hodnot T nebo F, může být zakódován jako DPQ. Pro D = T (resp. D = F) dostáváme

TPQ ≡ (λxy . x) PQ = P (resp. FPQ = Q)

Teoretické využitíEditovat

Pomocí lambda kalkulu lze dobře definovat vyčíslitelnost.

Libovolná funkce F: NN je vyčíslitelná právě tehdy, když existuje lambda výraz f, u kterého pro libovolná přirozená čísla x a y platí F(x) = y právě tehdy, když f x == y, kde x a y jsou Churchova čísla odpovídající x a y. Tak vypadá jeden ze způsobů definice vyčíslitelnosti, který je základem Church-Turingovy teze.

Problém určit, zda dva výrazy v lambda kalkulu jsou ekvivalentní, nemůže žádný univerzální algoritmus vyřešit a tento problém byl první, u kterého se nerozhodnutelnost podařilo dokázat. V důkazu tohoto faktu Alan Church nejprve problém zredukoval na určení, zda daný lambda výraz má nějakou normální formu, přičemž takovou formou se míní ekvivalentní výraz, který nelze dále zjednodušit. Poté v rámci důkazu sporem předpokládá, že takový predikát je vyčíslitelný a lze ho tedy vyjádřit pomocí lambda kalkulu. S využitím předchozích Kleeneho výsledků dokázal lambda výrazům přiřadit Gödelovo číslo a poté obdobnou technikou jako v důkazu první Gödelovy věty o neúplnosti vytvořil lambda výraz e. Konečně, pokud je e aplikováno samo na sebe (na své Gödelovo číslo), výsledkem je spor.

Pomocí něho lze také definovat operace v objektových databázích. Na principech lambda kalkulu je založená dotazovací část jazyka smalltalk. Tento jazyk používá například rozsáhlá objektová databáze GemStone.

Související článkyEditovat