Kvartická rovnice

Kvartická rovnice je algebraická rovnice o jedné neznámé, kterou lze vyjádřit v obecném tvaru

,

kde .

U kvartických rovnic se používá následující terminologie:

  • – kvartický člen
  • – kubický člen
  • – kvadratický člen
  • – lineární člen
  • – absolutní člen

Bikvadratická rovniceEditovat

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

 

Řešení bikvadratické rovniceEditovat

Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce  , čímž vznikne kvadratická rovnice

 

Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru

 

Toto řešení použijeme pro získání hodnot  , které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí

 
 

Obecné řešení kvartické rovniceEditovat

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná analyticky (tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Ludovico Ferrari někdy v 16. století, když byl žákem Girolama Cardana, nicméně existuje mnoho elegantnějších metod, jak takové rovnice řešit. Jednu z nich předložil např. Francouz René Descartes a tuto metodu zde uvedeme.

Řešení spočívá v následujícím postupu:

1. Máme kvartickou rovnici

 

Vydělíme-li rovnici koeficientem   kvartického členu  , tím získáme rovnici, jejíž koeficient kvartického členu bude 1. Nově získaná rovnice bude vypadat takto:

 

2. Použijeme substituci

 

Tím dostaneme jinou rovnici s novou neznámou  . Mezi neznámými  ,   však existuje vztah, takže dokážeme-li najít neznámou  , pak dokážeme najít i neznámou  . Tuto konkrétní substituci jsme zvolili proto, abychom získali jistý speciální tvar nové rovnice – tato rovnice bude mít tzv. redukovaný tvar:

 

3. Rozložíme čtyřčlen   na dva kvadratické trojčleny, jejichž koeficienty kvadratických členů   budou mít hodnotu 1. Označme ostatní koeficienty jako  , ,  ,  . Má tedy platit, že:

 ,

a tedy z předchozího kroku plyne:  

Aby rovnost platila, musí platit následující vztahy (což zjistíme po roznásobení kvadratických trojčlenů výše):

  (tento vztah jsem získal tak, že jsem si uvědomil, že celkový koeficient kubického členu  musí být 0, abych ho mohl vypustit a získat namísto pětičlenu jen čtyřčlen)

 

 

 

4. Všimneme si, že vztah   lze snadno přetvořit na  , čehož využijeme a dosadíme výraz   do trojčlenu   namísto  , čímž získáme rovnost

 

5. Roznásobíme nově vzniklé trojčleny a získáme následující rovnosti:

 

 

 

První dva z těchto vztahů ještě vhodně upravím:

 

 

6. Zaměříme se nyní na dvojici výrazů  , . Podařilo se mi vyjádřit jejich součet  , jejich rozdíl   a jejich součin  . O součtu, součinu a rozdílu dvou libovolných hodnot platí vztah:

 

Úplně stejný vztah nyní uplatním na výrazy  , :

 

Místo součtu, součinu a rozdílu hodnot  ,  ale dosadím jejich jiné vyjádření, které jsem získal v 5. kroku.

 

7. Uvědomíme si, že hodnoty  ,  ,   jsou parametry, a tedy konkrétní číselné hodnoty, které známe. Proto se jedná o rovnici s neznámou  . Rovnici postupně upravím, až dostanu tvar:

 

8. Všimneme si, že v rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé  . Proto položíme substituci  . Tím získám kubickou rovnici, kterou už není tak těžké vyřešit.

9. Zjistili jsme neznámou   a tedy i  . Po dosazení číselné hodnoty   do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty  ,  . Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů.

10. Nyní se vrátíme k rovnosti z 3. kroku:

 .

Kdy je součin trojčlenů roven nule? Právě tehdy, je-li aspoň jeden trojčlen roven 0. Z toho plyne, že kořeny   získáme vyřešením kvadratické rovnice  , zatímco kořeny   vyřešením kvadratické rovnice  .

11. Známe-li kořeny  , pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice  .

Poznámka – Řešení by šlo jistě vyjádřit i pomocí původních koeficientů  ,  ,  ,  ,  , ale jeho zápis by byl poměrně komplikovaný a nepraktický, proto ho zde neuvádíme. Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici   lze snadno rozložit na  , popř. ještě dál na:  , a tak uhodnout z hlavy kořeny  ,  .


ObrázkyEditovat

Vzorce, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1).

Ještě složitější vzorce by vycházely pro normovaný tvar kvartické rovnice.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat