Kruhová úseč je část kruhu vymezená tětivou a kruhovým obloukem vzniklá rozdělením kruhu sečnou .
Kruhová úseč a výseč Kruhová úseč. Značení: Každá úseč je příslušná středovému úhlu α, který může být konvexní (0° < α < 180°), konkávní (180° < α < 360°), nebo přímý (α = 180°; polokruh).
Obvod úseče, poloměr, tětiva a výška
editovat
Použité značení:
r – poloměr kruhuα – středový úhel,
α
=
2
arcsin
(
s
2
r
)
{\displaystyle \alpha =2\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)}
α
=
4
a
r
c
t
g
(
h
(
s
/
2
)
)
{\displaystyle \alpha =4\ \mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\biggr )}}
α
=
2
arcsin
(
4
h
s
s
2
+
4
h
2
)
{\displaystyle \alpha =2\ \arcsin {\biggl (}{\frac {4hs}{s^{2}+4h^{2}}}{\biggr )}}
α
=
2
a
r
c
t
g
(
(
s
/
2
)
(
s
2
8
h
−
h
2
)
)
{\displaystyle \alpha =2\,\mathrm {arctg} {\Biggl (}{\frac {(s/2)}{{\bigl (}{\frac {s^{2}}{8h}}-{\frac {h}{2}}{\bigr )}}}{\Biggr )}}
α
=
2
a
r
c
t
g
(
4
s
h
s
2
−
4
h
2
)
{\displaystyle \alpha =2\,\mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {4sh}{s^{2}-4h^{2}}}{\biggr )}}
s – délka tětivy,
s
=
2
r
sin
(
α
2
)
{\displaystyle s=2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}
s
=
2
r
1
2
−
1
2
cos
(
α
)
{\displaystyle s=2r{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos(\alpha )}}}
h – výška oblouku,
h
=
r
(
1
−
cos
(
α
2
)
)
{\displaystyle h=r{\biggl (}1-\cos {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}{\biggr )}}
h
=
r
−
1
2
4
r
2
−
s
2
{\displaystyle h=r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-s^{2}}}}
r
2
=
(
s
/
2
)
2
+
(
r
−
h
)
2
{\displaystyle r^{2}=(s/2)^{2}+(r-h)^{2}}
r
=
s
2
8
h
+
h
/
2
{\displaystyle r={\frac {s^{2}}{8h}}+h/2}
r
=
(
s
/
2
)
2
+
h
2
2
h
{\displaystyle r={\frac {(s/2)^{2}+h^{2}}{2h}}}
r
=
(
s
/
2
)
s
i
n
(
2
a
r
c
t
g
(
h
(
s
/
2
)
)
)
{\displaystyle r={\frac {(s/2)}{\mathrm {sin} {\biggl (}2\,\mathrm {arctg} {\Bigl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\Bigr )}{\biggr )}}}}
r
=
s
2
s
i
n
(
2
a
r
c
t
g
(
s
2
h
)
)
{\displaystyle r={\frac {s}{2\,\mathrm {sin} {\Bigl (}2\,\mathrm {arctg} {\bigl (}{\frac {s}{2h}}{\bigr )}{\Bigr )}}}}
s
=
2
h
√
(
2
r
h
−
1
)
{\displaystyle s=2h\surd ({\frac {2r}{h}}-1)}
s
=
2
√
(
2
r
h
−
h
2
)
{\displaystyle s=2\surd (2rh-h^{2})}
s
=
2
tan
(
α
2
)
⋅
(
b
a
r
c
α
−
h
)
{\displaystyle s=2\,\tan {\biggl (}{\frac {\alpha }{2}}{\biggr )}\cdot {\biggl (}{\frac {b}{\mathrm {arc} \ \alpha }}-h{\biggr )}}
h
=
r
−
r
√
(
1
−
(
s
/
2
r
)
2
)
{\displaystyle h=r-r\surd (1-(s/2r)^{2})}
b – délka oblouku:
b
=
a
r
c
α
⋅
r
{\displaystyle b=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r}
radiánech );
b
=
arcsin
(
s
h
+
s
2
4
h
)
⋅
(
h
+
s
2
4
h
)
{\displaystyle b=\arcsin {\Biggl (}{\frac {s}{h+{\tfrac {s^{2}}{4h}}}}{\Biggr )}\cdot {\biggl (}h+{\frac {s^{2}}{4h}}{\biggr )}}
b
=
2
r
arcsin
(
s
2
r
)
⋅
π
180
{\displaystyle b=2r\arcsin {\biggl (}{\frac {s}{2r}}{\biggr )}\cdot {\frac {\pi }{180}}}
b
=
4
(
s
2
8
h
+
h
/
2
)
⋅
a
r
c
t
g
(
h
(
s
/
2
)
)
⋅
π
180
{\displaystyle b=4{\biggl (}{\frac {s^{2}}{8h}}+h/2{\biggr )}\cdot \,\mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\biggr )}\cdot {\frac {\pi }{180}}}
Obvod kruhové úseče:
o
=
b
+
s
{\displaystyle o=b+s}
o
=
a
r
c
α
⋅
r
+
s
{\displaystyle o=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r+s}
radiánech )
o
=
2
r
arcsin
(
s
2
r
)
+
s
{\displaystyle o=2r\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)+s}
o
=
a
r
c
α
⋅
r
+
2
r
sin
(
α
2
)
{\displaystyle o=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}
o
=
2
r
arcsin
(
s
2
r
)
⋅
π
180
+
2
r
sin
(
α
2
)
{\displaystyle o=2r\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)\cdot {\frac {\pi }{180}}+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}
V případě, že je úhel α konvexní (0 < α < π ), je obsah úseče roven obsahu výseče (
S
V
=
a
r
c
α
⋅
r
2
2
{\displaystyle S_{V}={\tfrac {arc\ \alpha \cdot r^{2}}{2}}}
S
T
=
r
2
sin
α
2
cos
α
2
=
r
2
2
sin
α
{\displaystyle S_{T}=r^{2}\sin \!{\tfrac {\alpha }{2}}\cos \!{\tfrac {\alpha }{2}}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha }
S
=
S
V
−
S
T
=
r
2
2
(
a
r
c
α
−
sin
α
)
{\displaystyle S=S_{V}-S_{T}={\frac {r^{2}}{2}}\left(arc\ \alpha -\sin \alpha \right)}
V případě, že je úhel
α
{\displaystyle \alpha }
konkávní (π < α < 2π ), je obsah úseče roven obsahu výseče a obsahu rovnoramenného trojúhelníka. Pro konkávní středový úhel ovšem vyjde obsah trojúhelníka (
S
T
=
r
2
2
sin
α
{\displaystyle S_{T}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha }
S
=
r
2
2
(
α
−
sin
α
)
{\displaystyle S={\frac {r^{2}}{2}}\left(\alpha -\sin \alpha \right)}
Známe-li výšku úseče
h
{\displaystyle h}
S
=
r
2
arccos
(
r
−
h
r
)
−
(
r
−
h
)
2
h
r
−
h
2
{\displaystyle S=r^{2}\arccos \!\left({\frac {r-h}{r}}\right)-(r-h){\sqrt {2hr-h^{2}}}}
V praxi je úseč často určena šířkou
s
{\displaystyle s}
h
{\displaystyle h}
S
=
1
64
h
2
(
(
s
2
+
4
h
2
)
2
arccos
s
2
−
4
h
2
s
2
+
4
h
2
−
4
s
h
(
s
2
−
4
h
2
)
)
{\displaystyle S={\frac {1}{64h^{2}}}\left(\left(s^{2}+4h^{2}\right)^{2}\arccos {\frac {s^{2}-4h^{2}}{s^{2}+4h^{2}}}-4sh\left(s^{2}-4h^{2}\right)\right)}
Související články
editovat
