Křivost křivky

ÚvodEditovat

Křivost křivky je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky. Má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů nosníků. Lze také říci, že v daném bodě křivky   se její křivost nejlépe přimyká kružnici, jejíž poloměr se nazývá poloměr křivosti v tomto bodě. Křivost určuje míru vychýlení křivky od její tečny v daném bodě.

Vztahy pro výpočet křivosti křivkyEditovat

  • Je-li známá rovnice rovinné křivky   v kartézském souřadném systému, pak křivost křivky   je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky r . Platí

 .

V některých případech je vhodné výše uvedený nelineární vztah zjednodušit, potom platí

 .

 

Další informaceEditovat

Inflexní bod křivky má nulovou křivost.

Poloměr křivosti křivky je také poloměrem její oskulační kružnice.

Kružnice je křivka s konstantním poloměrem křivosti, který je v absolutní hodnotě roven poloměru kružnice. Přímka, polopřímka a úsečka mají nekonečný poloměr křivosti (tj. přímku si lze představit jako kružnici o nekonečném poloměru). Kružnice, přímka, polopřímka a úsečka jsou jediné rovinné křivky s konstantní křivostí, viz řešené příklady.

V obecném případě, u prostorových křivek se používají pro výpočet křivosti Frenetovy vzorce.

Křivost má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů a napětí u nosníků, desek a skořepin v mechanice, při řešení kinematiky a dynamiky pohybu, v optice (poloměr křivosti optických čoček a zrcadel) aj.

Blíže např. [1], [2] a elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch .

Příklady výpočtuEditovat

Křivost přímky, polopřímky či úsečky (nejjednodušší příklad)Editovat

Přímka, polopřímka či úsečka je daná rovnicí  , kde   jsou konstanty.

Pro derivace   platí   a  .

Pro křivost přímky pak platí  .

Křivost kružniceEditovat

kružnice je daná např. rovnicí  , kde   je poloměr kružnice.

Pro derivace  , pak platí   a   .

Pro křivost dané kružnice pak platí  .

Výpočet křivosti v software MathcadEditovat

Na následujícím obrázku je provedeno odvození vztahu pro křivost kvadratické rovnice v sw Mathcad (tzv. symbolický výpočet).

ReferenceEditovat

  1. FRYDRÝŠEK, Karel. Nosníky a rámy na pružném podkladu 1. 1. vyd. Ostrava, ČR: VŠB-TU Ostrava, Fakulta strojní, 2006. 463 s. ISBN 80-248-1244-4. 
  2. FRYDRÝŠEK, Karel; TVRDÁ, Katarína; JANČO, Roland; ET AL. Handbook of Structures on Elastic Foundation. 1st. vyd. Ostrava, Czech Republic: VSB - Technical University of Ostrava, 2013. ISBN 978-80-248-3238-8. S. 1-1691. (anglicky) 

Externí odkazyEditovat