Otevřít hlavní menu

Náhodný jev

(přesměrováno z Jistý jev)

Náhodný jev je takový výsledek náhodného pokusu, o kterém lze po provedení pokusu rozhodnout, zda nastal nebo nenastal. K určitému náhodnému pokusu lze přiřadit různé náhodné jevy, které se mohou různě překrývat – příkladem mohou být různé druhy sázek nebo výsledků v ruletě, kdy když padne např. dvojka, odpovídá to nejen náhodnému jevu „dvojka“, ale i „sudá“, „černá“, „malá“, „prostřední sloupec“, „první tucet“ a různým sázkám na dvojici nebo čtveřici čísel, které obsahují dvojku.

Množina všech náhodných jevů, které mohou za daných podmínek nastat, nazýváme jevové pole. Do jevového pole patří i nemožný jev (tj. takový, který nikdy nenastane) a jistý jev (tj. takový, který nastane vždy). Jevové pole musí tvořit sigma algebru.

VlastnostiEditovat

Pokud při náhodném pokusu nastane nějaký náhodný jev   pouze tehdy, pokud nastane jev  , pak říkáme, že jev   je částí jevu   a značíme  . Lze také použít slovního vyjádření, že jev   má za následek jev  . Také říkáme, že jev   implikuje jev  .

Je-li při daném náhodném pokusu jev   částí jevu   a současně je jev   částí jevu  , tzn. za daných podmínek oba jevy   a   buď současně nastanou, nebo současně nenastanou, pak jevy   označujeme jako ekvivalentní.

Pokud lze nějaký jev   vyjádřit prostřednictvím dvou jiných jevů   a   tak, že jev   nastane tehdy, když nastane jev   nebo  , pak jev   označujeme jako sjednocení jevů   a   a zapisujeme  .

Jestliže nějaký jev   můžeme vyjádřit prostřednictvím dvou jiných jevů   a   tak, že jev   nastane tehdy, když nastanou současně oba jevy   i  , pak jev   označujeme jako průnik jevů   a   a zapisujeme  .

Pokud lze nějaký jev   vyjádřit prostřednictvím dvou jiných jevů   a   tak, že jev   nastane tehdy, když nastane jev   a současně nenastane jev  , pak jev   označujeme jako rozdíl jevů   a   a zapisujeme  . Používá se také značení  .

Pokud existuje nějaký jev  , který při určitém náhodném pokusu nastane vždy, pak o jevu   hovoříme jako o jevu jistém.

Opakem jistého jevu je jev nemožný (neuskutečnitelný), obvykle značený  , který při daném náhodném pokusu nikdy nenastane.

Náhodný jev   nazveme jevem opačným (protikladným) k jevu  , pokud jev   nastane vždy, když nenastane jev  . Jev   bývá také nazýván doplňkem jevu  .

Platí, že opačný jev opačného jevu je roven původnímu jevu, tzn.  . Mezi jevem   a k němu opačným jevem   platí vztah  , kde   je jistý jev, a současně  , kde   je jev nemožný.

Náhodný jev, který nelze vyjádřit jako sjednocení dvou možných jevů, označíme jako jev elementární. Elementární jevy tedy představují jednotlivé výsledky náhodného pokusu, které již dále nelze rozložit.

Jevy, které nejsou elementární, bývají označovány jako složené. Určitý složený jev nastane právě tehdy, nastane-li některý z elementárních jevů v něm obsažený. Jistý jev obsahuje všechny elementární jevy. Nemožný jev neobsahuje žádný elementární jev a tedy nenastane nikdy.

Pokud je současný výskyt dvou jevů   a   nemožný, tzn.  , pak o jevech   říkáme, že jsou neslučitelné (nekompatibilní).

Jestliže při každé realizaci daných podmínek jevy   buď oba nastanou, nebo oba nenastanou, pak hovoříme o jevech rovnoprávných (rovnocenných) a značíme  .

Systém jevůEditovat

Jestliže máme jevy   pro  , které jsou po dvou neslučitelné, tzn.   pro  , a jev  , který lze vyjádřit jako  , pak říkáme, že jev   se rozpadá na částečné jevy  . Pokud navíc platí, že  , kde   je jev jistý, pak jevy   tvoří úplný systém jevů. Při daném náhodném pokusu nastane alespoň jeden jev   z úplného systému jevů.

Systém jevů, které při daném náhodném pokusu nastávají nebo nenastávají, bývá označován jako jevové pole (jevový prostor). Jevový prostor obsahuje jak jev jistý, tak i jev nemožný. Platí také, že pokud náhodné jevy   patří do daného jevového prostoru, pak jevový prostor obsahuje také jevy  ,  ,  .

Jevový prostor tedy představuje množinu všech jevů, které se při uskutečnění daného pokusu mohou vyskytnout.

PříkladEditovat

Jako příklad náhodného jevu se nejčastěji uvádí hod hrací kostkou. Pokus spočívá v tom, že sledujeme čísla, resp. počty bodů, která na ní padnou. Idealizací pokusu je to, že nepřipouštíme, aby kostka padla na hranu a nebyl znám výsledek. Jevový prostor má šest elementárních jevů, kterými jsou čísla 1,2,3,4,5,6 na stranách kostky. Jev, že padne sudé číslo, je jevem složeným, který nastane tehdy a jen tehdy, nastane-li jeden ze tří elementárních jevů (padne 2, 4 nebo 6). Jev, že padne 0, je nemožný jev. Jev, že padne sudé nebo liché číslo, je jistý jev.

Související článkyEditovat