Inverzní zobrazení

Inverzní zobrazení k nějakému zobrazení $f:A\rightarrow B$ přiřazuje prvkům z množiny B prvky množiny A, tedy obrazům zobrazení f jejich vzory. Laicky řečeno, inverzní zobrazení zobrazuje „opačným směrem“ než původní zobrazení. Je-li zobrazení funkcí, hovoříme o jeho inverzním zobrazení jako o inverzní funkci.

Definice

Je-li $f:A\rightarrow B$ zobrazení, neboli $f=\left\lbrace (a,b)|a\in A,b\in B\right\rbrace$ , pak inverzní zobrazení je $f^{-1}:B\rightarrow A$ takové, že $f^{-1}(b)=a\Leftrightarrow f(a)=b$ nebo také $(b,a)\in f^{-1}\Leftrightarrow (a,b)\in f$ (zde $f$ a $f^{-1}$ jsou ve smyslu relace). Z toho vyplývá, že zobrazení f musí být prosté, tzn. různým prvkům $a,a'$ musí přiřazovat různé prvky $b,b'$ – jinak by nebylo jednoznačně určeno, na co se má zobrazit prvek b v inverzním zobrazení.

Vlastnosti

Inverzní zobrazení je:

prosté
surjektivní („na“)
$f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$

Ke každému vzájemně jednoznačnému zobrazení existuje zobrazení inverzní. Jestliže k nějakému zobrazení f existuje inverzní zobrazení, říkáme, že f je invertibilní nebo že vykazuje invertibilitu.

Využití

Neexistenci snadno spočítatelné inverzní funkce využívají jednosměrné funkce a hašovací funkce.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu inverzní zobrazení na Wikimedia Commons