Hamiltonovská formulace mechaniky

(přesměrováno z Hamiltonovy rovnice)

Hamiltonovská formulace mechaniky (někdy též hamiltonovská mechanika) představuje jiný přístup k popisu mechaniky než jaký využívají Newtonovy pohybové rovnice. Newtonovy pohybové rovnice sice umožňují úplně popsat mechanický pohyb, z matematického hlediska se však ukazuje, že lze zvolit jiný přístup k popisu tohoto pohybu, který bývá v mnoha případech výhodnější. Hamiltonovská formulace mechaniky je obecnější než lagrangeovská formulace, z níž původně vycházela.

Hamiltonovská formulace mechaniky je považována za součást teoretické mechaniky a objevil ji v roce 1833 William Rowan Hamilton. Hamiltonovská formulace mechaniky našla uplatnění nejen ve statistické fyzice, ale především při přechodu ke kvantové mechanice.

V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají zobecněné souřadnice a zobecněné hybnosti, přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné proměnné ve fázovém prostoru.

Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných transformací přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové transformace se označují jako kanonické a je při nich požadováno, aby si Hamiltonovy rovnice zachovávaly svůj tvar. Invariantem kanonických transformací je tzv. Poissonova závorka.

Hamiltonovy rovnice editovat

Diferenciací Hamiltonovy funkce dostaneme

 
 ,

kde   je Lagrangeova funkce,   jsou zobecněné souřadnice a   jsou zobecněné hybnosti. Srovnáním jednotlivých koeficientů v tomto vztahu dostaneme výrazy

 
 
 

Tyto rovnice tvoří pro mechanický systém s   stupni volnosti soustavu   diferenciálních rovnic prvního řádu pro   neznámých funkcí času  . Tyto rovnice jsou nižšího řádu než Lagrangeovy rovnice a jejich pravé strany nezávisí na derivacích hledaných funkcí. Tyto rovnice se nazývají Hamiltonovými (kanonickými) rovnicemi daného systému.

Příklad editovat

Příkladem Hamiltonových rovnic jsou rovnice pro jednorozměrný pohyb volné částice (hmotného bodu).

Z lagrangiánu   vyplývá zobecněná hybnost  , odtud  .

Dosazením do definice hamiltoniánu:

 .

Dosazením do Hamiltonových kanonických rovnic:

  a
 .

To znamená, že rychlost částice ( , neboli  ) zůstává konstantní (1. rovnice) a tedy částice se pohybuje rovnoměrně přímočaře.

Související články editovat

Externí odkazy editovat