Hahnova–Banachova věta

(přesměrováno z Hahnova-Banachova věta)

Hahnova–Banachova věta je věta z funkcionální analýzy, která tvrdí, že za jistých podmínek lze lineární funkcionál definovaný na nějakém podprostoru rozšířit na celý prostor tak, že se přitom nezmění jeho norma. Větu uveřejnili Hans Hahn a Stefan Banach koncem 20. let 20. století.

Existuje celá řada vzájemně více či méně ekvivalentních formulací této věty či jejích blízkých důsledků, které se často označují rovněž jako Hahnova–Banachova věta. Zde uvádíme formulaci, kterou použil Walter Rudin v knize Analýza v reálném a komplexním oboru[1]:

Nechť je podprostor normovaného lineárního prostoru a je omezený lineární funkcionál na . Potom existuje omezený lineární funkcionál na prostoru , který je rozšířením a platí .

Slovo rozšíření zde znamená, že patří do definičního oboru funkcionálu a oba funkcionály se na tomto podprostoru rovnají. Norma funkcionálu se definuje jako supremum podílu přes všechny nenulové body definičního oboru. Hahnova–Banachova věta v této formulaci nevyžaduje, aby podprostor byl uzavřený, a platí bez ohledu na to, zda použité skaláry jsou reálná čísla či komplexní čísla.

ReferenceEditovat

  1. Walter Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha 1977, s. 121

LiteraturaEditovat

  • Hans Hahn : Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 157 (1927), p. 214-229.
  • Stefan Banach : Sur les fonctionnelles linéaires. In: Studia Mathematica 1 (1929), p. 211-216.