Otevřít hlavní menu

Grashofovo číslo (Gr) je podobnostní číslo v dynamice tekutin a přenosu tepla, které udává poměr vztlaku a viskózní síly působící na kapalinu. Často se objevuje při popisu volné konvekce. Je pojmenované po německém inženýrovi Franzi Grashofovi.

Obsah

PoužitíEditovat

Grashofovo číslo je:

  pro svislou desku
  pro trubku
  pro obtékaná tělesa

kde:

g je gravitační zrychlení
β je teplotní součinitel objemové roztažnosti (přibližně rovný 1/T pro ideální plyny)
Ts je povrchová teplota
T je průměrná teplota
L je výška desky
D je vnitřní průměr
ν je kinematická viskozita.

Indexy L a D naznačují charakteristický rozměr.

Přechod k turbulentnímu proudění dochází při 108 < GrL < 109 pro přirozenou konvekci na svislé stěně. Při vyšších Grashofových číslech je mezní vrstva turbulentní a při nižších laminární.

Grashofovo číslo spolu s Prandtlovým číslem dává Rayleighovo číslo, bezrozměrnou veličinu charakterizující konvekci v přenosu tepla.

Přenos hmotyEditovat

Existuje analogická forma Grashofova čísla používaná v případech volné konvekce v přenosu hmoty.

 

kde:

 

a:

g je gravitační zrychlení
Ca,s je koncentrace a na povrchu
Ca,a je koncentrace a v okolním médiu
L je charakteristická délka
ν je kinematická viskozita
ρ je hustota kapaliny
Ca je koncentrace a
T je teplota (konstantní)
p je tlak (konstantní).

DerivaceEditovat

Prvním krokem k derivaci Grashofova čísla je úprava koeficientu objemové roztažnosti,  .

 

Měli byste mít na paměti, že   ve výše uvedené rovnici zastupuje měrný objem, a není stejné jako   v následující sekci, které reprezentuje rychlost. Vztah, dávající do souvislosti koeficient objemové roztažnosti   a hustotu   při konstantním tlaku, může být zapsán jako:

 

kde:

  je průměrná hustota tekutiny
  je hustota mezní vrstvy tekutiny
  je teplotní rozdíl mezi mezní vrstvou a tekutinou

Existují dva způsoby, jak zjistit Grashofovo číslo. První využívá bilanci energie, zatímco druhý využívá vztlakovou sílu díky rozdílu hustoty mezi mezní vrstvou a zbytkem tekutiny.

Energetická bilanceEditovat

Využíváme bilanci energie pro rotačně symetrické proudění. Tato analýza v sobě zahrnuje jak gravitační zrychlení, tak i přenos tepla. Matematické rovnice dále charakterizují jak rotačně symetrické proudění, tak dvourozměrné rovinné proudění.

 

kde:

  je směr rotace, t.j. směr rovnoběžný s povrchem
  je tangenciální rychlost, t.j. rychlost rovnoběžná s povrchem
  je vektor roviny, t.j. směr kolmý na povrch
  je normálová rychlost, t.j. rychlost kolmá na povrch
  je poloměr.

V této rovnici horní index n určuje, zda se jedná o rotačně symetrický proudění nebo rovinné proudění.

  = 1: rotačně symetrické proudění
  = 0: rovinné, dvoufázové proudění
  je gravitační zrychlení

Tato rovnice se rozšíří o fyzikální vlastnosti tekutiny:

 

Kde můžeme dále zjednodušit rovnici hybnosti tím, že položíme rychlost celé tekutiny rovnou 0 (u = 0).

 

Tento vztah ukazuje, že gradient tlaku je dán pouze rozdílem hustoty kapaliny a gravitačním zrychlením. Dalším krokem je vložení gradientu tlaku do rovnice hybnosti.

 

Další zjednodušení rovnice hybnosti dosáhneme dosazením koeficientu objemové roztažnosti místo rozdílu hustot  , a vztahem pro kinematickou viskozitu,  .

 

Pro zjištění Grashofova čísla musí být výše uvedená rovnice bezrozměrná. To znamená, že žádná proměnná v rovnici nesmí obsahovat rozměr, a namísto toho má obsahovat charakteristické poměry pro uvedený případ. Toho se dosáhne podělením všech proměnných příslušnými konstantními množstvími. Délky jsou poděleny charakteristickou délkou,  . Rychlosti jsou poděleny příslušnými referenčními rychlostmi,  , které berou v úvahu Reynoldsovo číslo  . Teploty jsou poděleny vhodnými rozdíly teplot,  . Tyto bezrozměrné parametry vypadají pak takto:

 ,
 ,
 ,
 ,
 .

Hvězdičky představují bezrozměrné parametry. Zkombinováním těchto bezrozměrných rovnic s rovnicemi hybnosti dostáváme následující zjednodušenou rovnici.

 

kde:

  je povrchová teplota
  je teplota kapaliny
  je charakteristická délka.

Bezrozměrný parametr v hranaté závorce v předchozí rovnici je Grashofovo číslo:

 

Buckinghamův Pi TeorémEditovat

Další formovou bezrozměrné analýzy, kterou získáme Grashofovo číslo, je známý jako Buckinghamův Pi Teorém. Tato metoda zahrnuje vztlakovou sílu každého objemu   díky rozdílu hustoty v mezní vrstvě a zbytku kapaliny.

 

Tato rovnice může být upravena:

 

Seznam použitých proměnných v této metodě je umístěn níže.

Proměnná Symbol Rozměr
Charakteristická délka    
Viskozita tekutiny    
Tepelná kapacita tekutiny    
Tepelná vodivost tekutiny    
Koeficient objemové roztažnosti    
Gravitační zrychlení    
Rozdíl teplot    
Součinitel přestupu tepla    

S ohledem na Buckinghamův pi teorém existuje 9 – 5 = 4 bezrozměrných skupin. Vybereme-li L,  , g a   jako referenční proměnné, pak skupiny   jsou následující:

 ,
 ,
 ,
 .

Vyřešením těchto skupin   dostaneme:

 ,
 ,
 ,
 

Ze dvou skupin   a   získáme Grashofovo číslo:

 

Použitím   a   může být předchozí rovnice přepsána na stejný výsledek jako při derivování Grashofova čísla z bilance energie.

 

Při nucené konvekci řídí Reynoldsovo číslo proudění tekutiny, ale při přirozené konvekci tuto funkci zastává Grashofovo číslo.

ReferenceEditovat

  • Jaluria, Yogesh. Natural Convection Heat and Mass Transfer (New York: Pergamon Press, 1980).
  • Cengel, Yunus A. Heat and Mass Transfer: A Practical Approach, 3rd Edition (Boston: McGraw Hill, 2003).
  • Eckert, Ernst R. G. and Drake, Robert M. Analysis of Heat and Mass Transfer (New York: McGraw Hill, 1972).
  • Welty, James R. Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer (New York: John Wiley & Sons, 1976).