Galoisova grupa

Galoisova grupa je pojem z algebry. Je to grupa definována pro těleso a jeho konečné rozšíření. Studium rozšíření těles pomocí Galoisovy grupy souvisí s Galoisovou teorií, která vznikla jako nástroj pro popis řešení polynomiálních rovnic. Historicky stál u zrodu této teorie Évariste Galois, který je považován za zakladatele teorie grup.

Definice

Nechť $E$ je rozšíření tělesa $F$ (zapisuje se jako $E/F$). Automorfizmus $E/F$ je takový automorfizmus $\alpha$ tělesa $E$, který zachovává všechny prvky $F$, tj. $\alpha (x)=x$ pro každé $x\in F$. Množina všech automorfizmů $E/F$ spolu s operací skládání tvoří grupu, která se nazývá Galoisova grupa. Značí se $Gal(E/F)$, anebo $Aut(E/F)$.

Příklady

• $Gal(\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ obsahuje dva prvky: identitu a komplexní sdružení.
• Nechť $F=\mathbb {Q}$ je těleso racionálních čísel a $E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}};\,\,a,b\in \mathbb {Q} \}$. Pak $Gal(E/F)$ obsahuje identitu a zobrazení $a+b{\sqrt {2}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}$.
• Nechť $p$ je prvočíslo a $E=GF(p^{n})$ je Galoisovo těleso o $p^{n}$ prvcích, $F\simeq GF(p)$ jeho nejmenší podtěleso. Pak $Gal(E/F)$ je cyklická grupa řádu $p$.
• Nechť $p$ je ireducibilní polynom s racionálními koeficienty stupně $n$, $E$ jeho rozkladové těleso a nechť $p$ má v $E$ právě dva nereálné kořeny. Pak $Gal(E/F)$ (někdy se také nazývá Galoisova grupa polynomu $p$) je izomorfní symetrické grupě $S_{n}$. Její prvky permutují kořeny polynomu $p$.

Vlastnosti

Fundamentální věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům $F\subseteq X\subseteq E$. Tato korespondence přiřadí podgrupě $H$ podtěleso $E$, které je fixováno touto podgrupou.

V případě nekonečného rozšíření $E/F$ uvažujeme v této korespondenci pouze uzavřené podgrupy vůči tzv. Krollově topologii.

Galoisovy grupy se začaly zkoumat v souvislosti se snahou řešit polynomiální rovnice vyššího stupně pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocnin racionálních čísel a koeficientů daného polynomu. Takové řešení existuje právě když Galoisova grupa polynomu je řešitelná.