Fundované jádro (ozn. WF) je matematický pojem z oblasti teorie množin. V axiomatizaci ZF_ (Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti) vymezuje třídu množin, která je vnitřním modelem ZF v ZF_.

Definice

editovat

Fundované jádro lze definovat transfinitní rekurzí iterováním operace potence z prázdné množiny takto:

Nejprve definujeme posloupnost množin   pro   (On je třída všech ordinálních čísel).

  •  
  •  
  •   pro   limitní

Fundované jádro (WF) pak definujeme  .

Vlastnosti

editovat

Třída WF má mnoho důležitých vlastností.

Uzavřenost WF

editovat

Třída WF je uzavřená na všechny definovatelné množinové operace a v důsledku tedy obsahuje i všechny definovatelné množinové konstanty (nulární operace), mezi něž patří speciálně všechny základní číselné obory. Dokonce množiny   všech po řadě přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel jsou prvky již množiny   z definice WF.

WF jako model ZF

editovat

Třída WF je vnitřním modelem ZF v ZF_ (tj. ve WF platí všechny (do WF relativizované) axiomy ZF, včetně axiomu fundovanosti).

Vztah WF a ∈

editovat

Třída WF je největší (vzhledem k inkluzi) [[tranzitivní množina|tranzitivní třída]], na níž je relace   fundovaná.

Mostowského věta o kolapsu

editovat

Mostovského věta o kolapsu říká, že ve WF lze pomocí ∈ simulovat všechny myslitelné binární relační struktury „příjemných“ vlastností. Zní takto:

Pro každou úzkou extenzionální (na A) a fundovanou (na A) relaci R na třídě A existuje jednoznačně určená tranzitivní podtřída T třídy WF taková, že struktury <R,A> a <∈,T> jsou izomorfní.

Vztah ke třídě konstruovatelných množin

editovat

V ZF_ je dokazatelné  , kde   je třída všech konstruovatelných množin a   je univerzální třída.

WF a axiom fundovanosti

editovat

Axiom fundovanosti platí ve WF (tj. platí zde jeho relativizace do WF). Axiom fundovanosti je dokonce ekvivalentní s tvrzením, že každá množina leží ve WF (tj.  ).

Související články

editovat