Existenční kvantifikátor

Existenční kvantifikátor () (také malý kvantifikátor) je matematický symbol používaný nejčastěji v predikátové logice. Do běžného jazyka lze jeho význam přeložit jako existuje. Duálním kvantifikátorem k němu je univerzální kvantifikátor s významem pro každé.

Znak
Název v UnicoduThere existsThere does not exist
Kódovánídechexdechex
Unicode8707U+22038708U+2204
UTF-8226 136 131e2 88 83226 136 132e2 88 84
Číselná entita∃∃∄∄
Názvová entita∃

EtymologieEditovat

Znak ∃ pro existenční kvantifikátor vznikl převrácením písmena E z latinského existo a anglického Existsexistuje.

Ukázka použitíEditovat

Řekněme, že chceme napsat matematickou formuli, která bude pravdivá právě tehdy, pokud nějaké přirozené číslo na druhou je rovno 25. Nejjednodušším přístupem by bylo napsat následující formuli:

0·0 = 25 nebo 1·1 = 25 nebo 2·2 = 25 nebo 3·3 = 25 atd.

Mohlo by se zdát, že toto je korektní formule výrokové logiky, protože jediná použitá spojka je "nebo". Ve výrokové logice bohužel není možno použít nekonečně mnoho spojek v jedné formuli a proto je potřeba zvolit jiný přístup, například rozšířit logiku tak, aby byla schopna vyjádřit následující formuli:

Pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25.

Tato formule používá existenční kvantifikátor a přesněji vyjadřuje původní tvrzení, jelikož v původní formuli nebyl význam termínu atd. přesně zadefinován. Nebylo například zřejmé, že se má pokračovat pro všechna přirozená čísla. Oproti tomu druhá formule přímo specifikuje, že se jedná o přirozená čísla.

Formule "pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25" je pravdivá, protože pokud nahradíme n číslem 5, dostaneme 5.5=25, což platí. Nezáleží na tom, zda pro ostatní n tvrzení platí (v tomto případě dokonce neplatí pro žádné číslo různé od 5). Stačí najít jedno jediné číslo.

Pokud změníme formuli na "Pro nějaké sudé číslo n platí n·n = 25", dostaneme nepravdivé tvrzení (nelze nalézt sudé číslo, kterým bychom n nahradili, a podmínka byla splněna). Na těchto dvou příkladech je vidět, že volba čísel, která můžeme použít, je důležitá a může změnit pravdivost tvrzení).

Formální zápis výše uvedených formulí je následující. Mějme predikát   vyjadřující   a predikát   vyjadřující "a je sudé". Potom se formule "pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25" dá vyjádřit jako

 

a formule „pro nějaké sudé číslo n platí n·n = 25“ jako

 

Vztah k univerzálnímu kvantifikátoruEditovat

Fakt, že existuje a splňující tvrzení   lze alternativně vyjádřit tak, že není pravda, že každé a nesplňuje  . Platí tedy

  •  
  •  

Kvantifikátor jednoznačné existenceEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Kvantifikátor jednoznačné existence.

V matematických zápisech je někdy potřeba vyjádřit, že počet prvků, které danou formuli splňují, je přesně jedna, například "Existuje právě jedno přirozené číslo n, které splňuje n.n=25" je pravdivá formule, ale formule "Existuje právě jedno sudé číslo n, které splňuje n.n=25" a "Existuje právě jedno sudé číslo" pravdivé nejsou. Ve formálních zápisech se potom místo   používá  .

Ve skutečnosti se ale   dá vyjádřit pomocí samotného  . Formule   totiž platí právě když platí   kde formule   vznikne z   záměnou volných výskytů proměnné n za k.

Pro všechny formule   platí, že jestliže  , pak i  , naopak to ale platit nemusí.

Kvantifikátor "existuje nekonečně mnoho"Editovat

Někdy je třeba vyjádřit, že existuje nekonečně mnoho prvků splňujících danou formuli. Například tvrzení "Existuje přirozené číslo n, které splňuje n < 17" je pravdivé tvrzení, zatímco "Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že n < 17" je nepravdivé.

Oproti tomu "Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n dělitelných pěti" je opět pravdivé tvrzení. V matematice se tento případ zapíše pomocí kvantifikátoru  , tedy pokud P(a) je predikát „a>8“, vyjadřuje   tvrzení „Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že n > 8“.

Pro všechny formule   platí, že jestliže  , pak i  , naopak to ale platit nemusí. Na druhou stranu pro žádnou formuli   nemůže zároveň platit   a  .

Kvantifikátor   nelze obecně v predikátové logice vyjádřit, pokud ale jsou ale prvky, přes které kvantifikujeme, lineárně uspořádány, lze formuli   zapsat jako  .

Související článkyEditovat