Otevřít hlavní menu

Eulerova-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferenciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Popis problému optimalizaceEditovat

Je zadána tzv. Lagrangeova funkce (lagrangián) F tří proměnných, která má spojité první parciální derivace, do níž je dosazena funkce y(x),

 .

Aby funkce y(x) představovala extremálu následujícího funkcionálu J,

 ,

musí funkce y(x) být řešením následující obyčejné diferenciální rovnice zvané Eulerova-Lagrangeova rovnice.

 

Příklad: „Nejlevnější cesta“Editovat

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

 
 
 

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů  ) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální. Lze si také představit, že funkce   představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici (lineární nehomogenní 2. řádu).

 

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:

 ,
 ,
 .

Hodnotu integračních konstant c1 a c2 vypočteme z okrajových podmínek   a   a získáme tak hledanou funkci  .

 
 
 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat