Distribuce (diferenciální geometrie)

Tento článek je o pojmu z oblasti diferenciální geometrie. Další významy jsou uvedeny na stránce distribuce.

V diferenciální geometrii se zavádějí jistá zobrazení, která zobrazují z diferencovatelné variety do jejích tečných prostorů. Každému bodu variety je specifickým způsobem přiřazen vektorový prostor, který je podprostorem tečného prostoru v daném bodě variety. Takovýmto zobrazením se říká distribuce. Navzdory svému názvu nemají nic společného s distribucemi alias zobecněnými funkcemi známými z matematické analýzy.

DefiniceEditovat

Mějme diferencovatelnou varietu   a označme tečný prostor v libovolném bodě této variety   jako  . Pak termínem k-rozměrná distribuce na varietě   rozumíme hladké přiřazení k-rozměrného podprostoru   každému bodu  . Toto přiřazení značíme  . Neboli

 ,

kde   je okolí bodu  ,   je množina (hladkých) vektorových polí na okolí  ,   značí lineární obal vektorů, LN je zkratka pro "lineární nezávislost" a   označuje hodnotu vektorového pole   v bodě  .

Občas se v definici k-rozměrné distribuce nepožaduje její hladkost. Výše uvedenou definicí se v takovém případě zavádí pojem hladké k-rozměrné distribuce.

Přidružené pojmyEditovat

Uvažujme nyní diferencovatelnou varietu   o dimenzi n a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci  . O této distribuci řekneme, že je (úplně) integrabilní, právě když pro každý bod   existuje jeho okolí   a na něm souřadnice   takové, že plochy určené soustavou rovnic

 

(bráno jako podmnožiny v okolí  ) jsou integrální podvariety  . Souřadnice   pak nazýváme Frobeniova mapa.

Uvažujme opět diferencovatelnou varietu   a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci  . Dále nechť   je n-rozměrná vnořená podvarieta variety  , tj. existuje vnoření  . Pokud

 ,

kde   označuje tečné zobrazení k zobrazení  , tak podvarietu   nazveme n-rozměrnou integrální podvarietou.

Frobeniova věta o integrabilitě distribucíEditovat

Buď   k-rozměrná distribuce na diferencovatelné varietě  . Pokud platí

 ,

tak k   existuje v okolí každého bodu integrální podvarieta.(Význam jednotlivých symbolů ve vzorci je tentýž jako ve vzorcích předchozích.)

Krátce řečeno, pokud je   v involuci, tj.  , tak je   integrabilní.