Descartesův list

algebraická křivka třetího řádu

Descartesův list je algebraická křivka třetího řádu, která splňuje rovnici v kartézské soustavě souřadnicː

Descartesův list

.

Parametr je definován jako úhlopříčka čtverce, jehož strana se rovná délce největší tětivy smyčky.

Křivka tvoří smyčku v prvním kvadrantu s dvojitým bodem v počátku připomíná tvar listu po kterém byla pojmenována.

Její osou symetrie, je přímka o rovnici: .

Bod A se nazývá vrchol, jeho souřadnice .

Pro obě větve existuje asymptota , její rovnice: .

Plocha mezi oblouky a

Plocha mezi asymptotou a křivkou se rovná ploše smyčky .

HistorieEditovat

Poprvé byla rovnice křivky studována R. Descartesem v roce 1638, ale vytvořil smyčku pouze v prvním souřadném úhlu, kde   a   jsou kladné hodnoty. Descartes věřil, že smyčka se opakuje symetricky ve všech čtyřech kvadrantech, ve formě čtyř okvětních lístků. V té době byla tato křivka nazývána jasmínovým květem.

Ve své moderní podobě byla tato křivka poprvé představena H. Huygensem v roce 1692 .

RovniceEditovat

 
  .
  • Parametrická rovnice v pravoúhlém systému:
  kde   .
 
Otočená křivka Descartesova listu

Často se znázorňuje o  otočená křivka. Její rovnice vypadají takto:

  • V pravoúhlém systému:
  kde  
  • Parametricky:
 
  • V polárních souřadnicích: