Cauchyho–Riemannovy podmínky

V matematice, konkrétně v komplexní analýze, jsou Cauchyho-Riemannovy podmínky nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla holomorfní (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmínkou je např. pokud mají funkce u,v spojité parciální derivace. Jde o parciální diferenciální rovnice pojmenované po Augustinu Cauchym a Bernhardu Riemannovi. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.

Cauchyova-Riemannova větaEditovat

Následující tvrzení, které charakterizuje holomorfní funkce pomocí Cauchyových-Riemannových podmínek, bývá označováno jako Cauchyova-Riemannova věta.

Buď f(x + iy) = u + iv funkce z otevřené podmnožiny komplexních čísel C do C, kde x a y jsou reálná čísla a u, v jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině R2. Potom f je holomorfní právě když u a v jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:

 

a

 

Kompaktní formulaceEditovat

Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:

 

Formulace v polárních souřadnicíchEditovat

Je-li komplexní číslo zapsáno v polárních souřadnicích:  , lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:

 
 

Kompaktní formulace v polárních souřadnicíchEditovat

Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:

 

kde derivace uvažujeme v bodě  .

OdvozeníEditovat

Jako derivace funkce dvou proměnnýchEditovat

První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y) nad C, a počítáme-li derivaci v bodě, z0, přibližujeme se k z0 nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.

Podél reálné osy:

   
 
 
 

což je z definice parciální derivace rovno

 

Podél imaginární osy:

   
 
 
 
 

tedy opět z definice parciální derivace:

 

Porovnáním těchto dvou výsledků

 

Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude

 
 

Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazeníEditovat

Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní derivaci jako lineární zobrazení a to dvěma způsoby – jako zobrazení z   do   a jako zobrazení z   do  .

Chápeme-li f přirozeným způsobem jako funkci z   do  , je lineární zobrazení L totálním diferenciálem f v bodě z, platí-li:

 , kde   je funkce splňující  

Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo w je komplexní derivací funkce   v bodě z, právě když pro všechna   platí:

 , kde   je opět funkce splňující  

Přitom w = s + it určuje jednoznačně lineární zobrazení   dané maticí

 

Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z  ) vztah  , tedy platí:

 , kde   je opět funkce splňující  .

Tedy na jednu stranu, má-li f v bodě z komplexní derivaci w, je zobrazení W totálním diferenciálem   a tedy platí:

 

odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.

Na druhou stranu, má-li f = u + iv spojité parciální derivace v z, má v z totální diferenciál:

 

Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo   komplexní derivací funkce f, neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení W určené takto definovaným w rovno  .  

ReferenceEditovat

Externí odkazyEditovat