Catalanova věta

Catalanova věta (občas nazývaná jako Mihăilescova věta) je matematická věta v teorii čísel vyslovená matematikem Eugène Charlesem Catalanem v roce 1844 a dokázaná roku 2002 Predem Mihăilescu.

Vezměme dvě čísla z množiny přirozených čísel 2³ a 3² s hodnotami 8 a 9 po umocnění, jedná se tedy o dvě po sobě jdoucí mocniny přirozených čísel. Domněnka říká, že toto jsou jediné po sobě jdoucí mocniny přirozených čísel, tedy jediné řešení diofantické rovnice :x^a − y^b = 1 ležící v množině přirozených čísel. Pro x, a, y, b > 1 je x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Historie editovat

Historie tohoto problému se datuje přinejmenším k Levi ben Gershonovi, který ukázal speciální případ roku 1343 kde x a y byla omezena na hodnoty 2 nebo 3.

Roku 1974, Robert Tijdeman aplikoval metodu z teorie transcendentních čísel aby ukázal že existuje konstanta C taková, že exponenty po sobě jdoucích mocnin jsou menší než C. Vzhledem k tomu, že výsledky práce ostatních matematiků ukázaly, že C je vázána na zmíněné exponenty, byla udána podmínka, že věta platí na omezený počet případů. Nicméně pro dokončení důkazu byl potřeba silný výpočetní výkon a mnoho času.

Catalanova věta byla dokázána roku 2002 Predou Mihăilescuem a od té doby se nazývá Mihăilescova věta. Důkaz byl publikován v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik roku 2004 a využívá oblastí jako jsou cyklotomická tělesa a Galoisova korespondence.

Pillaisova domněnka editovat

Pillaisova domněnka se týká rozdílu mocnin. Říká, že posloupnost rozdílů mocnin diverguje k nekonečnu, pokud se každý rozdíl opakuje v konečně mnoha opakováních. Jde o otevřený problém pojmenovaný po indickém matematikovi S. S. Pillai.

Paul Erdős se domníval, že existuje nějaké kladné C takové, že pokud d - rozdíl mocnin n, pak d>n^c pro dostatečně velké n.

Související články editovat

Reference editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Catalan's conjecture na anglické Wikipedii.

Preda Mihăilescu. Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture. J. Reine angew. Math.. 2004, roč. 572, s. 167–195. Dostupné v archivu pořízeném dne 2020-06-02. DOI 10.1515/crll.2004.048. Archivováno 2. 6. 2020 na Wayback Machine.. MathSciNet Featured Review MathSciNet - id = 2076124.
Paulo Ribenboim. Catalan's Conjecture. [s.l.]: Academic Press, 1994. Dostupné online. ISBN 0-12-587170-8. Predates Mihăilescu's proof.
Robert Tijdeman. On the equation of Catalan. Acta Arith.. 1976, roč. 29, čís. 2, s. 197–209.
Tauno Metsänkylä. Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved. Bulletin of the American Mathematical Society. 2004, roč. 41, čís. 1, s. 43–57. Dostupné online [PDF]. DOI 10.1090/S0273-0979-03-00993-5.
Yuri Bilu. Catalan's conjecture (after Mihăilescu). Astérisque. 2004, roč. 294, s. vii, 1 – 26.

Externí odkazy editovat

Catalanova věta v encyklopedii MathWorld (anglicky)
Ivars Peterson's MathTrek
Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture