Bretschneiderův vzorec

matematický výraz pro obsah obecného čtyřúhelníku

V geometrii je Bretschneiderův vzorec následující výraz pro obsah obecného čtyřúhelníku:

Čtyřúhelník


Zde, a, b, c, d jsou strany čtyřúhelníka, s je poloviční obvod, a α a γ jsou dva protilehlé úhly.

Bretschneiderův vzorec lze použít na jakémkoli čtyřúhelníku, ať už je pravidelný, nebo ne.

Německý matematik Carl Anton Bretschneider objevil vzorec v roce 1842. Vzorec byl také odvozen ve stejném roce německým matematikem Karlem Georgem Christianem Staudtem.

DůkazEditovat

Označte obsah čtyřúhelníku S je pak:

 


Proto

 

 


Věta kosinova naznačuje

 

protože obě strany se rovnají čtverci délky diagonály BD. To může být přepsáno jako

 

Přidá se k výše uvedenému vzorci  

 


Všimněte si, že:  

Podle stejných kroků jako ve vzorci Brahmagupty to může být napsáno jako

 


Představení polovičního obvodu

 

dosazením výše

 


 

a Bretschneiderův vzorec následuje po druhé odmocnině obou stran:

 

Související vzorceEditovat

Bretschneiderův vzorec zobecňuje vzorec Brahmaguptyho pro oblast tětivového čtyřúhelníku , který zase zobecňuje Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku.

Trigonometrické přizpůsobení ve vzorci Bretschneidera pro necyklickost čtyřúhelníku může být přepsáno netrigonometricky z hlediska stran a diagonál e a f [1] [2]


 

PoznámkyEditovat

  1. JL Coolidge, "Historicky zajímavý vzorec pro oblast čtyřúhelníku", American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345-347. ( JSTOR )
  2. EW Hobson: Pojednání o rovinné trigonometrii . Cambridge University Press, 1918, str. 204-205

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bretschneider's formula na anglické Wikipedii.

Odkazy a další čteníEditovat

  • Ayoub B. Ayoub: Zobecnění Ptolemaia a Brahmaguptaových vědomostí . Matematika a počítačová výchova, číslo 41, číslo 1, 2007, ISSN 0730-8639
  • EW Hobson : Pojednání o rovinné trigonometrii . Cambridge University Press, 1918, s.   204-205 ( online kopie )
  • CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( online kopie, němčina )
  • F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( online kopie, němčina )

Externí odkazyEditovat