Booleova logika

operátor pro manipulaci s logickými hodnotami

Booleova logika se zabývá logickými operacemi "*" (konjunkce, značená též AND, & nebo ), "+" (disjunkce, značena též OR, "|", "." nebo ) a "NOT()" (negace, značena též pruhem nad částí výrazu) na množině hodnot { 0, 1 }. Jejím rozšířením je pak Booleova algebra.

16 booleovských funkcí dvou proměnných

Definice logických funkcíEditovat

jeden argument
A ID NOT
0 0 1
1 1 0
dva argumenty
A B OR NOR AND NAND     XOR
0 0 0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 1 0 1 1 0

JednovstupovéEditovat

IdentitaEditovat

ID – vrací stejnou hodnotu, jako měl vstup. Platí:

  • A = ID(A)
  • ID( 0 ) = 0
  • ID( 1 ) = 1

NegaceEditovat

NOT – vrací opačnou hodnotu, než měl vstup. Platí:

Dvouvstupové základníEditovat

DisjunkceEditovat

OR – vrací součet hodnot vstupů. Platí:

KonjunkceEditovat

AND – vrací součin hodnot vstupů. Platí:

Základní pravidlaEditovat

Párová pravidla platí i po vzájemné záměně "+" za "*", zde jsou tyto operace vzájemně symetrické.

AbsorpceEditovat

  • A*(A+B) = A, protože (A+B) jen rozšiřuje už platný a užší fakt A, takže zbytečné.
  • A+(A*B) = A, protože (A*B) jen zužuje už platný a širší fakt A, takže zbytečné.

AsociativitaEditovat

  • (A+B)+C = A+(B+C)
  • (A*B)*C = A*(B*C)

DistributivitaEditovat

  • A*(B+C) = AB+AC
  • A+(B*C) = (A+B)*(A+C), protože A+AB+AC+BC = A+A*(B+C)+BC = (A+A*D)+E = A+E, (substituce, pak absorpce závorky)

Neutrálnost 0 a 1Editovat

  • A+0 = A
  • A*1 = A

IdempotenceEditovat

  • A+A = A
  • A*A = A

De Morganovy zákonyEditovat

Logický součet a součin lze vyjádřit jeden pomocí druhého, při použití negace.

  •  
  •  

De Morganovy zákony tedy definují negace logického součtu a součinu:

  •  
  •  
 
16 booleovských funkcí dvou proměnných

Dvouvstupové odvozenéEditovat

NOREditovat

NOR – negace součtu vstupů:

  • A NOR B = NOT (A+B)
  • A NOR B = NOT(A) * NOT(B)

NANDEditovat

NAND – negace součinu vstupů:

  • A NAND B = NOT(A) + NOT(B)
  • A NAND B = NOT (A*B)

ImplikaceEditovat

NOR – Buď při splněném předpokladu A vrací B, nebo z nesplněného předpokladu vyplývá cokoli a vrací 1:

  • A   B = NOT(A) + B = NOT( A*NOT(B) )

EkvivalenceEditovat

EQ – porovnává shodnost hodnot všech vstupů:

  • A   B = A*B + NOT(A)*NOT(B) = (A+NOT(B)) * (NOT(A)+B)

Exkluzivní disjunkceEditovat

XOR – porovnává unikátnost hodnoty každého vstupu:

  • A XOR B = A*NOT(B) + B*NOT(A)

XOR versus NEQEditovat

Obecně jsou XOR a nonekvivalence rozdílné funkce, ale pro dvě dvouhodnotové proměnné dále platí:

  • ( A XOR B ) = NOT( A   B )

nebo jinak,

  • XOR(A,B) = NOT(EQ(A,B))

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat