Binomická rovnice

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovniceEditovat

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
 

Úhel   komplexní číslo   s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé  

 

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je


 

DiskuseEditovat

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu  . Pokud je číslo   kladné reálné, poté uvažujeme úhel  . Naopak, když je   reálné záporné, uvažujeme úhel  . Pokud uvažujeme, že   má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:

ŘešeníEditovat

Binomická rovnice má celkem   řešení. Při jejich hledání se za koeficient   dosazují postupně hodnoty množiny  . Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného  -úhelníka. (Vrcholy takovného  -úhelníka pro rovnici   leží na jednotkové kružnici v Gaussově rovině a navíc všechny tyto  -úhelníky mají jeden z vrcholů v bodě  , čili jedno z řešení je vždy  .) Samotné řešení je

1. možnost  

 

2. možnost  

 

3. možnost neurčitého   a komplexního