Bayesova věta

Bayesova věta (alternativně Bayesova formule, Bayesův vzorec) je věta teorie pravděpodobnosti, která udává, jak podmíněná pravděpodobnost nějakého jevu souvisí s opačnou podmíněnou pravděpodobností. Poprvé na tuto souvislost upozornil anglický duchovní Thomas Bayes (1702–1761) v posmrtně vydaném článku An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763). Roku 1774 větu znovu objevil francouzský matematik a fyzik Pierre-Simon Laplace, nicméně postupně upadla v zapomnění a rozšířila se až v 2. polovině 20. století. Frekvenční interpretace pravděpodobnosti se poté nazývá klasická či Laplaceova, právě podle Pierre-Simona Laplace.

Bayesova věta: ilustrace pomocí dvou spojených třídimenzionálních stromových diagramů

Jedno z mnoha použití Bayesovy věty je v oblasti statistické inference (konkrétně Bayesova inference). Věta taktéž položila základy relativně novému směru statistiky - Bayesovská statistika.

Znění věty

Jednoduchá forma Bayesovy věty

Mějme dva náhodné jevy $A$ a $B$, přičemž $P(B)\neq 0$. Potom platí:

$P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},$ kde

• $P(A\mid B)$ je podmíněná pravděpodobnost jevu $A$ za předpokladu, že nastal jev $B$
• $P(B\mid A)$ je podmíněná pravděpodobnost jevu $B$ podmíněná výskytem jevu $A$
• $P(A)$ a $P(B)$ jsou pravděpodobnosti jevů $A$ a $B$

Bayesova věta

Mějme náhodné jevy $A$ a $B_{j}$, pro $j={1,...,k}$. Nechť jsou jevy $B_{j}$ vzájemně neslučitelné pro každé $j$ a nechť v každém pokusu nastává právě jeden z nich, takže součet jejich pravděpodobností je roven jedné:

${\sum _{i=1}^{k}P(B_{i})=1}$

Potom platí:

$P(B_{j}\mid A)={\frac {P(A\mid B_{j})\,P(B_{j})}{P(A)}}\!,$ kde

• $P(A\mid B_{j})$ je podmíněná pravděpodobnost jevu $A$ za předpokladu, že nastal jev $B_{j}$
• $P(B_{j}\mid A)$ je podmíněná pravděpodobnost jevu $B_{j}$ za předpokladu, že nastal jev $A$
• $P(A)$ je pravděpodobnost jevu $A$

Důkaz Bayesovy věty

Pro jednoduchost uvažujme pouze dva náhodné jevy. Důkaz Bayesovy věty vychází z definice podmíněné pravděpodobnosti:

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},{\text{ pokud }}P(B)\neq 0,$

kde $P(A\cap B)$ je pravděpodobnost průniku jevů $A$, $B$. Symetricky:

$P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ pokud }}P(A)\neq 0.$

Vyjádřením pravděpodobnosti průniku v obou rovnicích a následným dosazením jedné rovnosti do druhé, získáme výslednou Bayesovu formuli:

$P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)P(A)}{P(B)}},{\text{ pokud }}P(B)\neq 0.$ $\square$

Alternativní forma Bayesovy věty

Při počítání s Bayesovou formulí je výhodné znát následující úpravu, jelikož často neznáme pravděpodobnost náhodných jevů, nýbrž pouze jejich pravděpodobnosti podmíněné.

Tato formule spočívá ve vhodné úpravě jmenovatele:

$P(B)=P(B\mid A)\cdot P(A)+P(B\mid \neg A)\cdot P(\neg A),$

kde využíváme vztahu:

$B=(B\cap A)\cup (B\cap \neg A).$

Po dosazení do původní věty tedy dostáváme:

$P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \neg A)P(\neg A)}}.$

Opět lze jednoduchými úvahami zobecnit pro více jevů. Mějme náhodné jevy $A_{j}$, $j={1,...,k}$. Pravděpodobnost jevu $B$ lze interpretovat jako sumu součinu pravděpodobností $P(B\mid A_{j})$ a $P(A_{j})$ (Věta o úplné pravděpodobnosti), tj.

$P(B)={\sum _{j}P(B\mid A_{j})P(A_{j})}.$

Podmíněnou pravděpodobnost jevu $P(A_{i}\mid B)$ za pomocí výše zmíněných úvah vyjádříme následovně:

$P(A_{i}\mid B)={\frac {P(B\mid A_{i})P(A_{i})}{\sum \limits _{j}P(B\mid A_{j})P(A_{j})}}.$

Příklady použití

Testování na drogy

Nyní si ukažme příklad použití Bayesova pravidla při testování na drogy. Vyjdeme z předpokladů, že test na prokázání drog má senzitivitu 99 % a specificitu 99 %. Test se na první pohled zdá být docela přesný, ale pomocí Bayesovy věty lze ukázat, že netriviální procento testovaných může být nesprávně označeno za uživatele drog. Nechť je v testovaném podniku prevalence 0,5 %, tj. 0,5 % ze zaměstnanců drogy opravdu užívá.

Jaká je pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem drogy opravdu používá?

Označme si uživatele drog jako "A", "N" všechny ostatní. Nechť "+" znamená pozitivní test. Popišme si následující veličiny:

• $P(A)$ pravděpodobnost, že osoba je uživatelem drog (prevalence), tj. $0.005$
• $P(N)$ pravděpodobnost, že osoba není uživatelem drog; zjistíme pomocí doplňkového jevu, tzn. $1-P(A)=0.995$
• $P(+\mid A)$ pravděpodobnost, že test je pozitivní, když je osoba uživatelem drog; jinými slovy sensitivita testu: $0.99$
• $P(+\mid N)$ je pravděpodobnost, že test bude pozitivní, i přesto, že osoba není uživatelem drog; lze interpretovat jako doplněk k specificitě testu: $0.01$
• $P(+)$ je pravděpodobnost, že test bude pozitivní.

Pravděpodobnost $P(+)$ sice zadanou nemáme, ale lze ji vypočítat dle výše zmíněné formule:

$P(+)=P(+\mid A)\cdot P(A)+P(+\mid N)\cdot P(N)$

Po dosazení dostáváme výsledek 1,49 %:

$P(+)=0.99\times 0.005+0.01\times 0.995=0.0149.$

Díky těmto údajům můžeme vypočítat žádanou pravděpodobnost $P(A\mid +)$ pomocí Bayesovy věty:

$P(A\mid +)={\frac {P(+\mid A)P(A)}{P(+)}}={\frac {0.99\times 0.005}{0.0149}}=0.3322.$

Všimněme si, že i přes vysokou specificitu a senzitivitu je výsledek testu poměrně nepřesný. U zaměstnance podniku s pozitivním testem je jen 33% pravděpodobnost, že je skutečně uživatelem drog.

Specificita a Sensitivita

Senzitivita testu (alt. citlivost testu) nám udává úspěšnost, s níž test zachytí přítomnost sledovaného stavu (nemoci) u daného subjektu. V našem příkladu to znamená, že test správně identifikuje skutečné uživatele drog v 99 % případů.

Specificita testu nám vyjadřuje úspěšnost, s níž test určí případy, u nichž zkoumaný stav (nemoc) nenastává. 99% specificita testu znamená, že test s 99% pravděpodobností správně vyloučí osobu, která drogy nepoužívá.

Odkazy

Související články

• Bayesovská statistika
• Bayesovské hry

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bayesova věta na Wikimedia Commons

Autoritní data	GND: 4144221-0

Portály: Matematika