Asymptotický rozvoj

Asymptotický rozvoj, asymptotická řada nebo Poincarého rozvoj (po Henri Poincarém), pod vlivem angličtiny i asymptotická expanze, je v matematice formální řada funkcí, která má tu vlastnost, že zkrácení řady na konečný počet členů poskytne aproximaci dané funkce, když se argument funkce blíží k určitému, často nevlastnímu, bodu. R. B. Dingle odhalil ve svém výzkumu, že divergentní část asymptotického rozvoje je latentně smysluplná, tj. obsahuje informace o přesné hodnotě rozvíjené funkce.

Nejobvyklejším typem asymptotického rozvoje je mocninná řada buď s kladnými nebo zápornými mocninami. K metodám generování takového rozvoje patří Eulerův–Maclaurinův sumační vzorec a integrální transformace, např. Laplaceova nebo Mellinova transformace. Také opakovaná integrace per partes často vede k asymptotickému rozvoji.

Protože konvergentní Taylorova řada také vyhovuje definici asymptotického rozvoje, názvem „asymptotická řada“ obvykle označujeme nekonvergentní řadu. Přestože nekonverguje, asymptotický rozvoj je užitečný, když je zkrácen na konečný počet členů. Taková aproximace může poskytovat výhody tím, že je matematicky snáze proveditelná než funkce, s jejímž rozvojem se pracuje, nebo je její výpočet rychlejší než původní funkce. Typicky je nejlepší aproximací, když je řada zkráceny po nejmenším členu. Tímto způsobem optimálně zkrácený asymptotický rozvoj je znám jako superasymptotika. Chyba pak je typicky tvaru ~ exp(−c/ε) kde ε je parametr rozvoje. Chyba je tedy menšího řádu než všechny parametry rozvoje a může být dále zlepšena na superasymptotickou chybu, například použitím resumačních metod, jako je Borelova resumace, na divergentní část řady. Takové metody se často označují za hyperasymptotická aproximace.

Zápisy používané v tomto článku jsou popsány v článcích asymptotická analýza a Landauova notace.

Formální definice

Nejdříve definujeme asymptotickou škálu, pak formálně definujeme asymptotický rozvoj.

Pokud $\varphi _{n}$ je posloupnost spojitých funkcí na nějaké doméně a L je limitní bod definičního oboru, pak posloupnost vytváří asymptotickou škálu, pokud pro každé n platí

$\varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\to L).$

(L může být nekonečno.) Jinými slovy, posloupnost funkcí tvoří asymptotickou škálu, pokud každá funkce v posloupnosti roste striktně pomaleji (v limitě $x\to L$) než předchozí funkce.

Pokud f je spojitá funkce na doméně asymptotické škály, pak f má asymptotický rozvoj řádu N podle škály jako formální řada

$\sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)$

pokud

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\ (x\to L)$

nebo

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\ (x\to L).$

Pokud platí jedno nebo druhé pro všechna N, pak zapisujeme^[zdroj?]

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\to L).$

V protikladu ke konvergentní řadě pro $f$, kde pro jakékoli pevné $x$ řada konverguje v limitě $N\to \infty$, můžeme asymptotickou řadu považovat za konvergující pro pevné $N$ v limitě $x\to L$ (kde $L$ může být nekonečné).

Příklady

Grafické znázornění absolutní hodnoty chyby v asymptotickém rozvoji funkce Gama (vlevo). Vodorovná osa je počet členů asymptotického rozvoje. Modré body jsou pro x = 2 a červené body jsou pro x = 3. Je vidět, že nejmenší chyba nastává u 14 členů pro x = 2, a u 20 členů pro x = 3, u více členů chyba diverguje.

• Gama funkce (Stirlingův vzorec)

${\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )$

• Exponenciální integrál

$xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )$

• Logaritmický integrál

$\operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}$

• Riemannova funkce zeta

$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}$kde $B_{2m}$ jsou Bernoulliho čísla a $s^{\overline {2m-1}}$ je rostoucí faktoriál. Tento rozvoj je platný pro všechna komplexní s a často se používá pro výpočet zeta funkce použitím dostatečně velké hodnoty N, například $N>|s|$.

• Chybová funkce

${\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )$ kde (2n − 1)!! je dvojitý faktoriál.

Vypracovaný příklad

Asymptotické rozvoje se často objevují, když se obyčejná řada použije ve formálním výrazu, který způsobí, že je použita pro hodnoty mimo svůj poloměr konvergence. Můžeme například začít s obyčejnou řadou

${\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.$

Výraz vlevo má smysl na celé komplexní rovině, až na $w=1$, zatímco pravá strana konverguje pouze pro $|w|<1$. Znásobení výrazem $e^{-w/t}$ a zintegrování obou stran dává

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,$

po substituci $u=w/t$ na pravé straně. Integrál na levé straně, chápaný jako hlavní hodnota integrálu, lze vyjádřit pomocí exponenciálního integrálu. V integrálu na pravé straně rozpoznáváme Gama funkci. Vyhodnocením obou stran obdržíme asymptotický rozvoj

$e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.$

Jeho pravá strana jasně není konvergentní pro jakoukoli nenulovou hodnotu t. Zkrácením řady vpravo na konečný počet členů však můžeme obdržet docela dobrou aproximaci hodnoty $\operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)$ pro dostatečně malé t. Provedeme substituci $x=-{\tfrac {1}{t}}$ a všimneme si, že $\operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)$ vede k asymptotickému rozvoji uvedenému výše v tomto článku.

Vlastnosti

Jednoznačnost pro danou asymptotickou škálu

Pro danou asymptotickou škálu $\{\varphi _{n}(x)\}$ je asymptotický rozvoj funkce $f(x)$ jednoznačný. To znamená, že koeficienty $\{a_{n}\}$ jsou jednoznačně určené následujícím způsobem:

$${\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}$$

kde $L$ je limitní bod tohoto asymptotického rozvoje (může být $\pm \infty$).

Nejednoznačnost pro danou funkci

Daná funkce $f(x)$ může mít mnoho asymptotických rozvojů (každý s jinou asymptotickou škálou).

Subdominance

Asymptotický rozvoj může být asymptotickým rozvojem pro více než jednu funkci.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Asymptotic expansion na anglické Wikipedii.

• ABLOWITZ, M. J.; FOKAS, A. S., 2003. Complex variables: introduction and applications. [s.l.]: Cambridge University Press. 
• BENDER, C. M.; ORSZAG, S. A., 2013. Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. [s.l.]: Springer Science & Business Media. 
• BLEISTEIN, N.; HANDELSMAN, R., 1975. Asymptotic Expansions of Integrals. [s.l.]: Dover Publications. 
• CARRIER, G. F.; KROOK, M.; PEARSON, C. E., 2005. Functions of a complex variable: Theory and technique. [s.l.]: Society for Industrial and Applied Mathematics. 
• COPSON, E. T., 1965. Asymptotic Expansions. [s.l.]: Cambridge University Press. Dostupné online. 
• DINGLE, Robert B., 1973. Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation. [s.l.]: Academic Press. 
• ERDÉLYI, A., 1955. Asymptotic Expansions. [s.l.]: Dover Publications. 
• FRUCHARD, A.; SCHÄFKE, R., 2013. Composite Asymptotic Expansions. [s.l.]: Springer. 
• HARDY, G. H., 1949. Divergent Series. [s.l.]: Oxford University Press. Dostupné online. 
• OLVER, F., 1997. Asymptotics and Special functions. [s.l.]: AK Peters/CRC Press. 
• PARIS, R. B.; KAMINSKY, D., 2001. Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. [s.l.]: Cambridge University Press. Dostupné online. 
• WHITTAKER, E. T.; WATSON, G. N. A Course of Modern Analysis. 4. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 1963. 

Příbuzné obory

• Asymptotická analýza
• Singulární odchylka

Asymptotické metody

• Watsonovo lemma
• Mellinova transformace
• Laplaceova metoda
• Stacionární fáze aproximace
• Metoda největšího spádu

Externí odkazy

• FEDORYUK, M.V., 1994. Asymptotic expansion [online]. EMS Press, 1994. Dostupné online. 
• Wolfram Mathworld: Asymptotic Series

Autoritní data	BNF: cb11981949k (data) LCCN: sh85009056 NDL: 00574603 NLI: 987007294946405171