Nechť
G
{\displaystyle G\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
⋅
:
G
×
A
→
A
{\displaystyle \cdot :G\times A\rightarrow A\,\!}
akcí grupy
G
{\displaystyle G\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
(také působením
G
{\displaystyle G\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
) jestliže:
g
1
⋅
(
g
2
⋅
a
)
=
(
g
1
g
2
)
⋅
a
{\displaystyle g_{1}\cdot (g_{2}\cdot a)=(g_{1}g_{2})\cdot a\,\!}
g
1
,
g
2
∈
G
,
a
∈
A
{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,a\in A\,\!}
1
⋅
a
=
a
{\displaystyle 1\cdot a=a\,\!}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A\,\!}
1
{\displaystyle 1\,\!}
neutrální prvek
G
{\displaystyle G\,\!}
Jinak řečeno prvek
g
1
∈
G
{\displaystyle g_{1}\in G\,\!}
g
2
⋅
a
∈
A
{\displaystyle g_{2}\cdot a\in A\,\!}
g
1
g
2
∈
G
{\displaystyle g_{1}g_{2}\in G\,\!}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A\,\!}
Reprezentace permutacemi
editovat
Nechť
G
{\displaystyle G\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G\,\!}
σ
g
{\displaystyle \sigma _{g}\,\!}
σ
g
:
A
→
A
{\displaystyle \sigma _{g}:A\rightarrow A\,\!}
a
↦
g
⋅
a
{\displaystyle a\mapsto g\cdot a\,\!}
pro libovolné
g
∈
G
{\displaystyle g\in G\,\!}
σ
g
{\displaystyle \sigma _{g}\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
zobrazení
ϕ
:
G
→
S
A
{\displaystyle \phi :G\rightarrow \mathbb {S} _{A}\,\!}
g
↦
σ
g
{\displaystyle g\mapsto \sigma _{g}\,\!}
homomorfismus grup. Zobrazení
ϕ
{\displaystyle \phi \,\!}
reprezentace permutacemi odpovídající dané akce grupy
G
{\displaystyle G\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
Akce grupy
G
{\displaystyle G\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
triviální , resp. věrnou , jestliže
g
⋅
a
=
a
∀
g
∈
G
,
a
∈
A
{\displaystyle g\cdot a=a\,\,\forall g\in G,a\in A\,\!}
injektivní zobrazení.
Jádro akce a stabilizátor prvku
editovat
Jádro akce grupy
G
{\displaystyle G\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
J
=
{
g
∈
G
|
g
⋅
a
=
a
,
∀
a
∈
A
}
{\displaystyle J=\{g\in G|g\cdot a=a,\,\forall a\in A\}\,\!}
ker
ϕ
{\displaystyle \ker \phi \,\!}
Je-li pevně zvolen prvek
a
∈
A
{\displaystyle a\in A\,\!}
G
a
=
{
g
∈
G
|
g
⋅
a
=
a
}
{\displaystyle G_{a}=\{g\in G|g\cdot a=a\}\,\!}
stabilizátor prvku
a
{\displaystyle a\,\!}
J
=
⋂
a
∈
A
G
a
{\displaystyle J=\bigcap _{a\in A}G_{a}\,\!}
Stabilizátor prvku
a
∈
A
{\displaystyle a\in A\,\!}
podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normální podgrupa této grupy.
Množina
O
a
=
{
g
⋅
a
|
g
∈
G
}
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{a}=\{g\cdot a|g\in G\}\,\!}
orbita prvku
a
{\displaystyle a\,\!}
Akce grupy G se nazývá tranzitivní , jestliže má právě jednu orbitu (tj.
∀
a
,
b
∈
A
∃
g
∈
G
:
a
=
g
⋅
b
{\displaystyle \forall a,b\in A\exists g\in G:a=g\cdot b\,\!}
Působí-li grupa G na konečné množině A, pak platí, že
|
O
a
|
=
|
G
/
G
a
|
{\displaystyle |{\mathcal {O}}_{a}|=|G/G_{a}|\,\!}
Tranzitivní akce a homogenní prostor
editovat
Říkáme, že grupa
G
{\displaystyle G}
A
{\displaystyle A}
tranzitivní akci , pokud pro každé
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
g
⋅
a
=
b
{\displaystyle g\cdot a=b}
Ekvivalentně, akce je tranzitivní pokud pro jedno pevné
a
{\displaystyle a}
b
∈
A
{\displaystyle b\in A}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
g
⋅
a
=
b
{\displaystyle g\cdot a=b}
G
{\displaystyle G}
Pokud má
G
{\displaystyle G}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
homogenní prostor
A
≃
G
/
G
a
{\displaystyle A\simeq G/G_{a}}
kde
G
a
{\displaystyle G_{a}}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
G
/
G
a
{\displaystyle G/G_{a}}
g
G
a
↦
g
⋅
a
{\displaystyle gG_{a}\mapsto g\cdot a}
Díky tranzitivní akci existuje pro každé
a
{\displaystyle a}
g
{\displaystyle g}
Pokud
g
1
⋅
a
=
g
2
⋅
a
{\displaystyle g_{1}\cdot a=g_{2}\cdot a}
g
2
−
1
g
1
a
=
a
{\displaystyle g_{2}^{-1}g_{1}a=a}
g
2
−
1
g
1
∈
G
a
{\displaystyle g_{2}^{-1}g_{1}\in G_{a}}
g
1
G
a
=
g
2
G
a
{\displaystyle g_{1}G_{a}=g_{2}G_{a}}
Zobrazení
G
/
G
a
→
A
{\displaystyle G/G_{a}\to A}
bijekce .
Reprezentace množiny jako levých rozkladových tříd
G
/
G
a
{\displaystyle G/G_{a}}
Kleinovy geometrie . Například Eukleidovské geometrii jsou vlastní Eukleidova grupa Euc(n) všech rotací, zrcadlení a posunutí. Tato grupa má na Eukleidově prostoru tranzitivní akci a stabilizátor pevně daného bodu je grupa O(n) všech otočení a zrcadlení takových které bod zachovávají. Eukleidův prostor
E
(
n
)
{\displaystyle E(n)}
n
{\displaystyle n}
E
(
n
)
≃
E
u
c
(
n
)
/
O
(
n
)
.
{\displaystyle E(n)\simeq Euc(n)/O(n).}
Obrázky, zvuky či videa k tématu akce grupy na množině na Wikimedia Commons 
