Vektorový součin

Vektorový součin je v matematice binární operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár) kolmý k oběma násobeným vektorům a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory.

Značení

Vektorový součin vektorů $\mathbf {a}$ a $\mathbf {b}$ se obvykle značí jedním z následujících způsobů:

• $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$
• $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ – používáno ve frankofonních zemích
• $[\mathbf {a} \mathbf {b} ]$ – používáno v Rusku

Definice

Mějme aritmetický vektorový prostor $\mathbb {R} ^{3}$ s kanonickou bází nad číselným tělesem $\mathbb {R}$, pak pro vektory $\mathbf {c} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$ platí, že vektor $\mathbf {c}$ je vektorovým součinem vektorů $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ vzhledem k uvedené bázi, právě když:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \varphi$,

kde $\varphi \in \left\langle 0,\pi \right\rangle$ je úhel svíraný vektory $\mathbf {a}$ a $\mathbf {b}$ a kde $\mathbf {n}$ je jednotkový vektor k nim kolmý, tj. vektorový součin je vnější součin ve třech rozměrech.

Výše uvedené jednotkové vektory existují dva v závislosti na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor $\mathbf {a}$ znázorněn ukazovákem a vektor $\mathbf {b}$ prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je natažený v rovině dlaně a prostředník směřuje blíže k rovině na dlaň kolmé, pak vektorový součin $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ je ve směru palce.

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin $\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b}$, pak složky vektoru $\mathbf {c}$ lze určit jako:

$c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$.

S využitím vzájemně jednoznačného přiřazení třísložkových vektorů a antisymetrických matic řádu $3$:

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})\qquad \longleftrightarrow \qquad A=\left({\begin{array}{rrr}0&a_{3}&-a_{2}\\-a_{3}&0&a_{1}\\a_{2}&-a_{1}&0\end{array}}\right)$

lze vektorový součin zavést jako komutátor dvou takových matic:

$\left({\begin{array}{rrr}0&c_{3}&-c_{2}\\-c_{3}&0&c_{1}\\c_{2}&-c_{1}&0\end{array}}\right)=C=BA-AB=\left({\begin{array}{ccc}0&a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}&-(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\\-(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})&0&a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}&-(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})&0\end{array}}\right)$,

kde množina antisymetrických matic je vzhledem ke komutátoru uzavřená.

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako:

$c_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$.

Zobecnění při zachování bilinearity

Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu:

$d_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}$.

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení:

$d_{23}=-d_{32}=c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$d_{31}=-d_{13}=c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$d_{12}=-d_{21}=c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

$d_{11}=d_{22}=d_{33}=0$.

Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu.)

Zobecnění v n-rozměrném prostoru

Podrobnější informace naleznete v článku Vnější součin.

Vlastnosti

Vektorový součin

pro všechny nenulové vektory $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{3}$ a všechna $a\in \mathbb {R}$ platí:

• Vektorový součin je homogenní funkce, tj.:

$a^{2}(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(a\,\mathbf {u} )\times (a\,\mathbf {v} )\ \ \ \ \$ resp. $\ \ \ \ \ a\,(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(a\mathbf {u} )\times \mathbf {v} =\mathbf {u} \times (a\mathbf {v} )$.

• Vektorový součin není asociativní, tj. platí pro něj Jacobiho rovnost:

$(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} =\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )+\mathbf {v} \times (\mathbf {w} \times \mathbf {u} )$.

• Vektorový součin je distributivní vůči sčítání, tj. jedná se o bilineární operaci:

$\mathbf {w} \times (\mathbf {u} +\mathbf {v} )=(\mathbf {w} \times \mathbf {u} )+(\mathbf {w} \times \mathbf {v} )$.

• Vektorový součin je antikomutativní, tj.:

$(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=-(\mathbf {v} \times \mathbf {u} )$.

• Vektorový součin vektorů $\mathbf {u}$ a $\mathbf {v}$ je nulový vektor ($\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {0}$), právě když jsou násobené vektory kolineární.
• Pro derivaci vektorového součinu v třírozměrném prostoru platí:

$(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )'=\mathbf {u} '\times \mathbf {v} +\mathbf {u} \times \mathbf {v} '$.

• Tvoří-li vektory $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$, $\mathbf {k}$ (v tomto pořadí) pravotočivou ortonormální bázi třírozměrného prostoru, pak:

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}$

$\mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i}$

$\mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}$.

• V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů $\mathbf {u}$ a $\mathbf {v}$ zapsat pomocí determinantu jako:

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}$.

Příklad

Součin vektorů u = (1,2,0) a v = (0,1,2) se vypočítá následovně:

• Výpočet pomocí definice:

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}~,~u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}~,~u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})$

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(1,2,0)\times (0,1,2)=(2\cdot 2-0\cdot 1,~0\cdot 0-1\cdot 2,~1\cdot 1-2\cdot 0)=(4,-2,1)$

$\mathbf {v} \times \mathbf {u} =(0,1,2)\times (1,2,0)=(1\cdot 0-2\cdot 2,~2\cdot 1-0\cdot 0,~0\cdot 2-1\cdot 1)=(-4,2,-1)$

Je zřejmé, že vektory u×v a v×u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u, v.

• Výpočet pomocí determinantu matice:

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\1&2&0\\0&1&2\end{vmatrix}}$

kde pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo:

${\begin{array}{rcl}\mathbf {u} \times \mathbf {v} &=&\mathbf {i} u_{2}v_{3}+u_{1}v_{2}\mathbf {k} +v_{1}\mathbf {j} u_{3}-\mathbf {k} u_{2}v_{1}-u_{3}v_{2}\mathbf {i} -v_{3}\mathbf {j} u_{1}\\~&=&\mathbf {i} \cdot 2\cdot 2+1\cdot 1\cdot \mathbf {k} +0\cdot \mathbf {j} \cdot 0-\mathbf {k} \cdot 2\cdot 0-0\cdot 1\cdot \mathbf {i} -2\cdot \mathbf {j} \cdot 1\\~&=&4\mathbf {i} -2\mathbf {j} +1\mathbf {k} \end{array}}$

kde i, j, k jsou jednotkové vektory kolineární s jednotlivými souřadnými osami, tedy i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), tj,:

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =4\cdot (1,0,0)-2\cdot (0,1,0)+1\cdot (0,0,1)=(4,-2,1)$

Výpočet v×u je analogický.

Aplikace

Moment síly

Vektorový součin je hojně využíván ve fyzice, např. moment síly $\mathbf {M}$ je definován následovně:

$\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$,

kde $\mathbf {r}$ je polohový vektor působiště síly. Podobně vypadá i moment hybnosti $\mathbf {L}$:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$,

kde $\mathbf {p}$ značí hybnost hmotného bodu, který má polohu $\mathbf {r}$ vůči zvolenému počátku souřadnic. Moment síly a moment hybnosti spolu úzce souvisí. Ukáže se to při pokusu o derivování momentu hybnosti podle času:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$.

Zde bylo využito výše zmíněného pravidla pro derivaci vektorového součinu. Výraz ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}$ je v kinematice přesná definice rychlosti $\mathbf {v}$ tělesa. Podobně tak ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ definuje sílu. Poslední užitá fyzikální rovnost se týká hybnosti. $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$. Na základě těchto opisů lze derivaci momentu hybnosti upravit do tvaru:

$m(\mathbf {v} \times \mathbf {v} )+\mathbf {r} \times \mathbf {F}$,

kde vektorový součin dvou identických vektorů $\mathbf {v} \times \mathbf {v}$ je roven nule, pak dostaneme:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {M}$.

Moment síly je tedy časová derivace momentu hybnosti. V praktickém světě se tohoto vztahu dá využít např. v orbitální mechanice. Planeta, která obíhá kolem Slunce tvořícího počátek souřadnic, má nulový moment síly, neboť gravitační síla i polohový vektor mají stejný směr. Moment hybnosti této planety se určí integrováním:

$\mathbf {L} =\int \mathbf {M} \,\mathrm {d} t=\int 0\,\mathrm {d} t=C$,

kde $C$ je integrační konstanta. Jinými slovy $\mathbf {L} =\mathrm {konst}$, což je pravidlo charakteristické pro 2. Keplerův zákon.

Operátor rotace

Další forma vektorového součinu důležitá pro fyziku je operátor rotace. Jedná se o diferenciální operátor, jehož aplikování na vektor $\mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})$ má strukturu:

$\operatorname {rot} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)$,

kde $\nabla$ značí operátor nabla:

${\nabla }=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$.

Rotace se vyskytuje ku příkladu v prvních dvou Maxwellových rovnicích zapsaných v diferenciálním tvaru:

$\nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}$

$\nabla \times {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}$.

Související články

• Vektorový prostor
• Skalární součin
• Smíšený součin

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vektorový součin na Wikimedia Commons