Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny dosahuje v nějakém okamžiku průměrné rychlosti dané změny.

Rolleova věta

Související informace naleznete také v článku Rolleova věta.

Speciálním jednodušším případem Lagrangeovy věty je Rolleova věta, ze které již věta Lagrangeova snadno plyne:

Nechť funkce $f(x)\,$ je spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$, má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b)\,$ a platí $f(a)=f(b)\,$. Pak existuje bod $c\in (a,b)$ takový, že $f^{\prime }(c)=0$.

Geometrický význam

Geometrické znázornění Rolleovy věty

Rolleova věta říká, že za uvedených předpokladů existuje v intervalu $(a,b)\,$ bod, v němž je tečna ke grafu funkce $f(x)\,$ rovnoběžná s osou x.

Fyzikální význam

Fyzikálně lze Rolleovu větu interpretovat takto:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“ tak, že na začátku i konci tohoto procesu má stejnou velikost, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny nulová.

Lagrangeova věta o střední hodnotě

Lagrangeovu větu lze vyslovit následovně:

Nechť funkce $f(x)\,$ je spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$ a má v každém bodě intervalu $(a,b)\,$ derivaci. Pak existuje bod $c\in (a,b)$ takový, že platí $f^{\prime }(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Protože je derivace $f'(x)$ v bodě směrnice tečny, můžeme tvrdit, že pro $f(x)$ platí:

• $f'(c)>0\Rightarrow f(x)$ je v tomto bodě rostoucí
• $f'(c)<0\Rightarrow f(x)$ je v tomto bodě klesající

Geometrický význam

Geometrický význam Lagrangeovy věty

Lagrangeova věta tvrdí, že za uvedených předpokladů v intervalu $(a,b)\,$ existuje bod $c\,$, v němž je tečna k funkci $f(x)\,$ rovnoběžná s přímkou vedenou body $(a,f(a))\,$ a $(b,f(b))\,$.

Fyzikální význam

Lagrangeovu větu lze fyzikálně interpretovat následovně:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny rovna průměrné rychlosti.

Zobecnění

Zobecněním Lagrangeovy věty je Cauchyova věta o střední hodnotě:

Nechť funkce $f(x),g(x)\,$ jsou spojité na intervalu $\langle a,b\rangle$, mají v každém bodě $x\,$ intervalu $(a,b)\,$ vlastní derivaci a nechť pro všechna $x\in (a,b)$ platí $g^{\prime }(x)\neq 0$. Pak existuje bod $c\in (a,b)$ takový, že platí ${\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$.

Důkaz

Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou $g(x)=x\,$. Protože $g^{\prime }(x)\neq 0$ pro všechna $x\in (a,b)$, je podle obměněné implikace Rolleovy věty (důkaz) nutně $g(a)\neq g(b)$ (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). Můžeme tak definovat funkci

$F(x)=-f(x)+{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))$.

Funkce $F\,$ je zřejmě spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$, má derivaci na intervalu $(a,b)\,$ a $F(a)=F(b)=-f(a)\,$. $F\,$ splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy $c\in (a,b)$ takové, že

$0=F^{\prime }(c)=-f^{\prime }(c)+{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g^{\prime }(c)$

Dle předpokladu je $g^{\prime }(c)\neq 0$ a tedy

${\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu na Wikimedia Commons

Autoritní data	LCCN: sh85082689 NLI: 987007558280505171