Transpozice matice

V lineární algebře se matice, která vznikne z matice ${\boldsymbol {A}}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, nazývá matice transponovaná k matici ${\boldsymbol {A}}$ a obvykle se značí ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$. Odpovídající operace je tzv. transpozice matice.

Transponovanou matici ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$ k matici ${\boldsymbol {A}}$ lze získat převrácením prvků podél její hlavní diagonály. Opakovaná operace transpozice na transponované matici vrátí prvky do původní polohy.

Transpozici matice zavedl v roce 1858 britský matematik Arthur Cayley. Reprezentuje-li matice ${\boldsymbol {A}}$ binární relaci, pak její transpozice ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$ odpovídá inverzní relaci.

Definice

Matici transponovanou k matici ${\boldsymbol {A}}$ lze získat libovolnou z následujících metod:

1. Převrácením ${\boldsymbol {A}}$ podél její hlavní diagonály nebo
2. zápisem řádků ${\boldsymbol {A}}$ do sloupců ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$nebo
3. zápisem sloupců ${\boldsymbol {A}}$ do řádků ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$.

Formálně, pro jednotlivé prvky transponované matice platí:

$({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })_{ij}=a_{ji}$

Pokud má matice ${\boldsymbol {A}}$ rozměry $(m,n)$, pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech $(n,m)$.

Symbol $\mathrm {T}$ je rezervován pro označení transpozice a neměl by být zaměňován s jiným významem horního indexu, jako např. název proměnné $i$ ve výrazu ${\boldsymbol {A}}^{i}$, znamenajícím $i$-tou mocninu čtvercové matice ${\boldsymbol {A}}$.

Ukázky

• Transpozicí matice ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\end{pmatrix}}$ vznikne ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}0&4\\1&5\\2&6\\3&7\end{pmatrix}}$.
• ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$

Definice matic využívající transpozici

Čtvercová matice, jenž je rovna své transpozici, se nazývá symetrická matice; čili ${\boldsymbol {A}}$ je symetrická, pokud

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}$.

Čtvercová matice, jenž je rovna záporu své transpozice, se nazývá antisymetrická matice; čili ${\boldsymbol {A}}$ je antisymetrická, pokud

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }=-{\boldsymbol {A}}$.

Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice je rovna matici, kde každý prvek je nahrazen k němu komplexně sdruženým číslem, se nazývá hermitovská matice; čili ${\boldsymbol {A}}$ je hermitovská, pokud

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\overline {\boldsymbol {A}}}$.

Čtvercová matice, jejíž transpozice se shoduje s její inverzní matici, se nazývá ortogonální matice; čili ${\boldsymbol {A}}$ je ortogonální, pokud

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{-1}$.

Vlastnosti

• Dvojitá transpozice matice je opět původní matice:

$\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}$,

neboli operace transpozice je involuce.

• Skalární násobek lze vytknout před operaci transpozice:

$(c{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }=c{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$

neboli transpozice zachovává skalární násobek matic.

• Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:

$({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }$

neboli transpozice zachovává součet matic.

• Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:

$\left({\boldsymbol {AB}}\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\,$

Indukcí lze tento vztah rozšířit na součin více matic: $({\boldsymbol {A}}_{1}{\boldsymbol {A}}_{2}\cdots {\boldsymbol {A}}_{k})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}_{k}^{\mathrm {T} }\cdots {\boldsymbol {A}}_{2}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}_{1}^{\mathrm {T} }$

• Z předchozího vztahu vyplývá, že čtvercová matice ${\boldsymbol {A}}$ je regulární, právě když je regulární ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$. V tomto případě platí, že transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice:

$\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {-1} }=\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {-1} }\right)^{\mathrm {T} }\,$

• Skalární součin dvou reálných sloupcových vektorů ${\boldsymbol {u}}$ a ${\boldsymbol {v}}$ lze spočítat jako jediný prvek maticového součinu:

$\langle {\boldsymbol {u}}|{\boldsymbol {v}}\rangle ={\boldsymbol {u}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {v}}$

• Determinant čtvercové matice se transpozicí nezmění:

$\det \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)=\det {\boldsymbol {A}}\,$

• Vlastní čísla čtvercové matice ${\boldsymbol {A}}$ se shodují s vlastními čísly její transpozice ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$, protože obě matice mají totožný charakteristický polynom.
• Pro libovolnou matici platí, že obě matice ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}$ i ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$ jsou symetrické. Symetrie matice ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$prostě plyne ze skutečnosti, že je sama sobě transpozicí:

$\left({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$.

• Je-li navíc ${\boldsymbol {A}}$ reálná matice, pak obě matice ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}$ i ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$ jsou pozitivně semidefinitní.

Implementace maticové transpozice na počítačích

Ilustrace řádkového a sloupcového pořadí prvků matice

Na počítači se lze často vyhnout výpočtu a ukládání transpozice matice v paměti pouhým přístupem ke stejným datům, ale jen v jiném pořadí. Například softwarové knihovny pro lineární algebru, jako je BLAS, obvykle poskytují možnosti, jak určit, že určité matice mají být interpretovány v transponovaném pořadí, aby se předešlo nutnosti přesunu dat.

V řadě případů je však nutné nebo žádoucí fyzicky přeuspořádat matici v paměti na její transpozici. Například s maticí uloženou v pořadí po řádcích jsou řádky matice v paměti souvislé a sloupce nesouvislé. Pokud je třeba provádět opakované operace se sloupci, například v rychlé Fourierově transformaci, může transpozice matice v paměti (aby sloupce byly souvislé) zrychlit výpočet díky principu lokality paměti.

Ve výpočtech je vhodné provádět transpozici matici s minimálními dodatečnými paměťovými nároky. To vede k problému transpozice matice typu $m\times n$ na místě, neboli s dodatečnou pamětí konstantní velikosti, případně o velikosti mnohem menší než udává součin $mn$ odpovídající alokaci paměti pro celou transponovanou matici. V případě, že $m\neq n$, jde o složitou permutaci uložených dat, jejíž implementace na místě není triviální. Efektivní transpozice matice na místě se stala předmětem četných výzkumných publikací v teoretické informatice už koncem 50. let 20. století.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Transpose na anglické Wikipedii.

Literatura

• Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Inverzní matice
• Násobení matic
• Matice

Externí odkazy

• Eduard Krajník - Maticový počet Archivováno 26. 7. 2020 na Wayback Machine.

Portály: Matematika