Tečný vektor

Tečný vektor

Tečný vektor v bodě $\mathbf {r} _{0}$ křivky, jejíž body jsou určeny rádiusvektorem $\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)$ a která prochází bodem $\mathbf {r} _{0}=[x_{0},y_{0},z_{0}]$ dané křivky, je vektor

${\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}=\left[{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0},{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0},{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}\right]$.

Jednotkovým tečným vektorem $\mathbf {t}$ se nazývá vektor jednotkový vektor ve směru tečného vektoru, tedy

$\mathbf {t} ={\frac {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}}}=\left({\frac {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}}}},{\frac {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}}}},{\frac {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}}}}\right)$

Pokud je parametrem křivky oblouk $s$, pak platí

$\mathbf {t} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}$

Rovnice tečny

Jednotlivé složky jednotkového tečného vektoru $\mathbf {t}$ představují směrové kosiny tečny v daném bodě křivky.

Rovnici tečny ke křivce $\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)$ v bodě $\mathbf {r} _{0}$ lze zapsat jako

${\frac {X-x_{0}}{{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}}={\frac {Y-y_{0}}{{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}}={\frac {Z-z_{0}}{{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}}$

nebo ve vektorovém tvaru

$\mathbf {R} =\mathbf {r} _{0}+u{\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}$,

kde $\mathbf {r} _{0}=[x_{0},y_{0},z_{0}]$ je bod dotyku tečny, $\mathbf {R} =[X,Y,Z]$ jsou body tečné přímky, $t$ je parametr křivky a $u$ je parametr tečny.

Portály: Matematika