Buď
A
{\displaystyle A}
matice formy
f
{\displaystyle f}
. A je symetrická, takže existuje její spektrální rozklad
A
=
Q
Λ
Q
T
{\displaystyle A=Q\Lambda Q^{T}}
, kde
Λ
=
d
i
a
g
(
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
n
)
{\displaystyle \Lambda ={\rm {diag(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}}}
. Čili
Λ
=
Q
T
A
Q
{\displaystyle \Lambda =Q^{T}AQ}
je diagonalizace formy. Pro
−
1
,
1
{\displaystyle -1,1}
na diagonále provedeme úpravu
Λ
′
Q
T
A
Q
Λ
′
{\displaystyle \Lambda 'Q^{T}AQ\Lambda '}
, kde
Λ
′
{\displaystyle \Lambda '}
je diagonální matice s prvky
Λ
i
i
′
=
|
λ
i
|
−
1
/
2
{\displaystyle \Lambda '_{ii}=|\lambda _{i}|^{-1/2}}
pro
λ
i
≠
0
{\displaystyle \lambda _{i}\neq 0}
a
Λ
i
i
′
=
0
{\displaystyle \Lambda '_{ii}=0}
pro
λ
i
=
0
{\displaystyle \lambda _{i}=0}
.
Nechť existují dvě různé diagonalizace
D
,
D
′
{\displaystyle D,D'}
pro bázi
B
=
{
w
1
,
w
2
,
…
,
w
n
}
{\displaystyle B=\{w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\}}
a
B
′
=
{
w
1
′
,
w
2
′
,
…
,
w
n
′
}
{\displaystyle B'=\{w'_{1},w'_{2},\dots ,w'_{n}\}}
prostoru
V
{\displaystyle V}
. Buď
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
libovolné a nechť má souřadnice
x
=
[
u
]
B
{\displaystyle x=[u]_{B}}
a
y
=
[
u
]
B
′
{\displaystyle y=[u]_{B'}}
. Pak
f
(
u
)
=
x
T
D
x
=
x
1
2
+
⋯
+
x
p
2
−
x
p
+
1
2
−
⋯
−
x
q
2
+
0
x
q
+
1
2
+
⋯
+
0
x
n
2
{\displaystyle f(u)=x^{T}Dx=x_{1}^{2}+\dots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\dots -x_{q}^{2}+0x_{q+1}^{2}+\dots +0x_{n}^{2}}
,
f
(
u
)
=
y
T
D
y
=
y
1
2
+
⋯
+
y
p
2
−
y
p
+
1
2
−
⋯
−
y
q
2
+
0
y
q
+
1
2
+
⋯
+
0
y
n
2
{\displaystyle f(u)=y^{T}Dy=y_{1}^{2}+\dots +y_{p}^{2}-y_{p+1}^{2}-\dots -y_{q}^{2}+0y_{q+1}^{2}+\dots +0y_{n}^{2}}
.
Platí
q
=
t
{\displaystyle q=t}
, protože
D
=
S
T
D
′
S
{\displaystyle D=S^{T}D'S}
pro nějakou regulární
S
{\displaystyle S}
. Proto
D
,
D
′
{\displaystyle D,D'}
mají stejnou hodnost. Ukažme, že nutně
p
=
s
{\displaystyle p=s}
. BÚNO nechť
p
>
s
{\displaystyle p>s}
. Definujme prostory
P
=
span
(
w
1
,
w
2
,
…
,
w
p
)
{\displaystyle P={\text{span}}(w_{1},w_{2},\dots ,w_{p})}
a
R
=
span
(
w
s
+
1
′
,
w
s
+
2
′
,
…
,
w
n
′
)
{\displaystyle R={\text{span}}(w'_{s+1},w'_{s+2},\dots ,w'_{n})}
. Pak
dim
(
P
∩
R
)
=
dim
P
+
dim
R
−
dim
(
P
+
R
)
≤
p
+
(
n
−
s
)
−
n
=
p
−
s
≤
1
{\displaystyle {\text{dim}}(P\cap R)={\text{dim}}P+{\text{dim}}R-{\text{dim}}(P+R)\leq p+(n-s)-n=p-s\leq 1}
.
Tedy existuje nenulový
y
∈
P
∩
R
{\displaystyle y\in P\cap R}
a pro něj máme
u
=
∑
i
=
1
p
x
i
w
i
=
∑
j
=
s
+
1
n
y
j
w
j
′
{\displaystyle u=\sum _{i=1}^{p}x_{i}w_{i}=\sum _{j=s+1}^{n}y_{j}w'_{j}}
z čehož dostaneme
f
(
u
)
=
x
1
2
+
.
.
.
+
x
p
2
>
0
{\displaystyle f(u)=x_{1}^{2}+...+x_{p}^{2}>0}
a zároveň
f
(
u
)
=
−
y
s
+
1
2
−
.
.
.
−
y
t
2
≤
0
{\displaystyle f(u)=-y_{s+1}^{2}-...-y_{t}^{2}\leq 0}
, což je spor.