Sčítání matic

V matematice je součet matic ^[1] binární operace na množině matic stejného typu definovaná sčítáním po složkách, tj. sečtením prvků na odpovídajících pozicích. Existují ale i další operace, které lze považovat za formu součtu matic a to direktní součet a Kroneckerův součet.

Součet po prvcích editovat

Standardní součet matic je definován pro dvě matice stejných rozměrů. Součet dvou matic ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ typu $m\times n$ je opět matice typu $m\times n$ , která je vypočtena součtem prvků na stejných pozicích. Značí se ${\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}$ a formálně je definována vztahem $({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ . Rozepsáno podrobněji:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}&={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!

Například:

{\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{pmatrix}}

Matice stejného typu lze i vzájemně odečítat. Rozdíl matic ${\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {B}}$ je dán rozdíly prvků matic ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ na odpovídajících pozicích, čili $({\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {B}})_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$ . Vzhledem k tomu, že rozdíl je zvláštním případem součtu: ${\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {A}}+(-1){\boldsymbol {B}}$ , má výsledná matice stejné rozměry jako ${\boldsymbol {A}}$ i ${\boldsymbol {B}}$ . Například:

{\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{pmatrix}}

Direktní součet editovat

Další operace, která se používá méně často, je přímý součet (zápis ⊕). Kronekerův součet se též značí ⊕; rozdíl by měl být zřejmý. Přímý součet jakékoli dvojice matic ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ a ${\boldsymbol {B}}$ typu $p\times q$ je matice typu $(m+p)\times (n+q)$ a definována vztahem ^[2]

{\boldsymbol {A}}\oplus {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}&{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {B}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{pmatrix}}

Například,

{\begin{pmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}

Přímý součet matic je speciální typ blokové matice, konkrétně přímý součet čtvercových matic je bloková diagonální matice.

Přímý součet $n$ matic je dán vztahem:

\bigoplus _{i=1}^{n}{\boldsymbol {A}}_{i}={\rm {diag}}({\boldsymbol {A}}_{1},{\boldsymbol {A}}_{2},{\boldsymbol {A}}_{3},\dots ,{\boldsymbol {A}}_{n})={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}_{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {A}}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {A}}_{n}\\\end{pmatrix}}\,\!,

kde nuly značí nulové matice odpovídajících rozměrů.

Například matice sousednosti sjednocení disjunktních grafů nebo multigrafů je přímým součtem matic sousedností grafů v sjednocení.

Kroneckerův součet editovat

Kroneckerův součet se liší od přímého součtu, ale používá stejnou značku ⊕. Definuje se použitím Kroneckerova součinu ⊗ a normálního maticového součtu. Pokud ${\boldsymbol {A}}$ je typu $n\times n$ , ${\boldsymbol {B}}$ je typu $m\times m$ a $\mathbf {I} _{k}$ označuje jednotkovou matici $k\times k$ , pak Kroneckerův součet matic je definován předpisem:

{\boldsymbol {A}}\oplus {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {A}}\otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes {\boldsymbol {B}}

Odkazy editovat

Reference editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Matrix addition na anglické Wikipedii.

↑ Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s.
↑ Sčítání matic v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Literatura editovat

BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39.
Petr Olšák: Lineární algebra
Luboš Motl, Miloš Zahradník: Pěstujeme lineární algebru
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M., 2009. Linear Algebra. [s.l.]: [s.n.]. (Schaum's Outline Series). ISBN 978-0-07-154352-1. (anglicky)

Související články editovat

Matice

Externí odkazy editovat

Česky:

Anglicky:

[1] Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s.

[2] Sčítání matic v encyklopedii MathWorld (anglicky)

[1]

[2]