Rieszova věta o reprezentaci

Rieszova věta o reprezentaci je důležité matematické tvrzení z oboru funkcionální analýzy. Tato věta umožňuje reprezentovat funkcionály na Hilbertově prostoru skalárním součinem s jistým prvkem tohoto prostoru.

Znění

Pro každý spojitý lineární funkcionál $F:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {C}$ na Hilbertově prostoru ${\mathcal {H}}$ existuje jediný vektor $y\in {\mathcal {H}}$ takový, že:

$Fx=\langle x,y\rangle \ \forall x\in {\mathcal {H}}$.

A navíc:

$\|F\|=\|y\|$

Poznámky

Podmínka spojitosti funkcionálu je ekvivalentní s podmínkou omezenosti.

V dovětku je třeba správně rozlišovat druhy norem:

$\|F\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|Fx\|$

ale

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$.

Využití

V praxi jsou skalární součiny často definovány nějakým vzorcem s použitím integrálu nebo lineární formou, v takových případech Rieszova věta zaručuje, že funkcionály je možné zapsat obdobným vzorcem. V teorii je Rieszova věta nezbytná pro zavedení sdružených operátorů, které jsou významné samy o sobě. Dále je této věty potřeba při zavádění duálních prostorů, které mají velké využití například v kvantové fyzice.

Důkaz

Nejprve ověříme korektnost tvrzení, tedy že taková reprezentace není v rozporu s linearitou a omezeností a funkcionálu:

$F(x+z)=\langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle ,F(\lambda x)=\langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle$

Obdobě omezenost, tu zajišťuje Cauchyho–Schwarzova nerovnost.

$|Fx|=|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|$

Nyní dokážeme, že požadovaný vektor musí vždy existovat.

Pro $F=0$ je důkaz triviální, předpokládejme tedy dále, že $F\neq 0$. $\operatorname {Ker} F$ je tedy uzavřený vlastní podprostor ${\mathcal {H}}$, existuje tedy nenulový vektor $z\bot \operatorname {Ker} F$.

Označme $Gx=\langle x,{\frac {\overline {Fz}}{\|z\|^{2}}}z\rangle$ a ukažme, že $F=G$.

Pro $x\in \operatorname {Ker} F$ platí: $Gx=0=Fx$.

Jelikož $z$ je libovolný a platí ${\mathcal {H}}=\operatorname {Ker} F\oplus \operatorname {Span} \{z\}$, stačí již jen ukázat, že:

$Gz=\langle z,{\frac {\overline {Fz}}{\|z\|^{2}}}z\rangle ={\frac {Fz}{\|z\|^{2}}}\langle z,z\rangle =Fz$

Můžeme ztotožnit $y={\frac {\overline {Fz}}{\|z\|^{2}}}z$, takže existence je dokázána.

Jednoznačnost dokážeme sporem:

Předpokládejme, že existují dva vektory $y_{1}\neq y_{2}$, takové že: $Fx=\langle x,y_{1}\rangle =\langle x,y_{2}\rangle \ \forall x\in {\mathcal {H}}$

Z toho plyne: $\langle x,y_{1}-y_{2}\rangle =0\ \forall x\in {\mathcal {H}}\Rightarrow (y_{1}-y_{2})\bot {\mathcal {H}}\Rightarrow y_{1}-y_{2}=0\Rightarrow y_{1}=y_{2}$, což je spor s předpokladem.

Zbývá dokázat dovětek:

Vezměme vektor $x$, takový, že $\|x\|\leq 1$, pak platí:

$|Fx|=\langle x,y\rangle \leq \|x\|\|y\|\leq \|y\|\Rightarrow \|F\|\leq \|y\|$

Zároveň však: $|F({\frac {y}{\|y\|}})|=|\langle {\frac {y}{\|y\|}},y\rangle |=\|y\|$

Z čehož vyvodíme $\|F\|=\|y\|$. ∎

Portály: Matematika