Princip maximality
Princip maximality, označovaný také někdy zkratkou PM a mimo teorii množin známější jako Zornovo lemma, je tvrzení z teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání, které se zabývá existencí maximálních prvků v uspořádané množině.
Formulace principu editovat
Pomocná definice - řetězec editovat
Předpokládejme, že množina A je uspořádána relací R. Podmnožinu nazveme řetězcem, pokud je tato množina lineárně uspořádána relací R.
Princip maximality editovat
Pokud je neprázdná množina částečně uspořádána relací (tedy je částečně uspořádaná množina) tak, že každý řetězec je shora omezený, pak v množině existuje maximální prvek.
Princip minimality editovat
Vzhledem k dualitě pojmů týkajících se uspořádání lze „obrácením znamének“ formulovat podobné tvrzení i pro minimální prvky:
Pokud je neprázdná množina A částečně uspořádána tak, že každý řetězec je zdola omezený, pak v existuje minimální prvek.
Tento princip je ekvivalentní obdobou principu maximality.
Postavení principu v teorii množin editovat
Princip maximality přibližně v dnes používané formulaci byl vysloven a dokázán Kazimierzem Kuratowským v roce 1922 za použití axiomu výběru. Princip byl později v roce 1935 znovu objeven Maxem Zornem, který zpopularizoval jeho použití v mnoha odvětvích matematiky, proto je princip zpravidla nazýván Zornovo lemma. V literatuře bylo popsáno až několik desítek tvrzení podobných principu maximality, zaručujících existenci jistých maximálních prvků v různých kontextech za splnění určitých podmínek; nejstarší se objevují v práci Felixe Hausdorffa z roku 1907.[1]
Byla dokázána i opačná implikace, tj. tvrzení, že z principu maximality plyne axiom výběru. Princip maximality tedy patří mezi tvrzení ekvivalentní s axiomem výběru (jako například princip dobrého uspořádání), které jsou nezávislé na základních axiomech teorie množin označovaných zkratkou ZF. Přidáním kteréhokoliv z těchto principů (nebo přidáním samotného axiomu výběru) k ZF získávám „stejně silnou“ axiomatiku, která je obvykle označována jako ZFC.
Příklady použití principu editovat
Trichotomie mohutnosti editovat
Relace „mít stejnou nebo menší mohutnost jako“ je trichotomická pro všechny množiny (tj. na univerzální třídě).
Jinými slovy: z principu maximality plyne, že mohutnosti každých dvou množin lze porovnat. Toto tvrzení nelze dokázat ze základních axiomů ZF - je nutné předpokládat platnost principu maximality (nebo axiomu výběru).
Rozklady nekonečných množin editovat
Předpokládejme, že A je nekonečná množina. Potom platí, že
- Množinu A lze rozložit na dvě nekonečné části, neboť pro platí, že A má stejnou mohutnost, jako její kartézský součin s dvouprvkovou množinou:
- Množinu A lze rozložit na nekonečně mnoho nekonečných částí, neboť platí, že A má stejnou mohutnost, jako její druhá kartézská mocnina:
Související články editovat
Reference editovat
- ↑ Paul J. Campbell, The origin of "Zorn's lemma", Historia Mathematica 5 (1978), č. 1, s. 77–89. doi:10.1016/0315-0860(78)90136-2
