Pravidelný mnohoúhelník
Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.
Pravidelné konvexní mnohoúhelníky | |
---|---|
Obsah | s je délka strany, n je počet vrcholů/úhlů |
Grupa symetrie | Dihedrální (Dn) |
Úhel u vrcholu | ° |
Součet vnitřních úhlů | ° |
Obecné vlastnosti editovat
Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.
- Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu.
- Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla.
- Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické.
- Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo, pak má i střed souměrnosti.
Pravidelné konvexní mnohoúhelníky editovat
Galerie editovat
Úhly editovat
Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký
- (neboli ) stupňů
- neboli radiánů
a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký stupňů.
Úhlopříčky editovat
Pro je počet úhlopříček .
Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.
Poloměry editovat
Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:
Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:
Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany
Obsah editovat
Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané je:[1]
Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující
Strany | Název | Přesná plocha | Přibližná plocha |
---|---|---|---|
n | pravidelný n-úhelník | ||
3 | rovnostranný trojúhelník | 0,433012702 | |
4 | čtverec | 1 | |
5 | pravidelný pětiúhelník | 1,720477401 | |
6 | pravidelný šestiúhelník | 2,598076211 | |
7 | pravidelný sedmiúhelník | 3,633912444 | |
8 | pravidelný osmiúhelník | 4,828427125 | |
9 | pravidelný devítiúhelník | 6,181824194 | |
10 | pravidelný desetiúhelník | 7,694208843 | |
11 | pravidelný jedenáctiúhelník | 9,365639907 | |
12 | pravidelný dvanáctiúhelník | 11,19615242 | |
13 | pravidelný třináctiúhelník | 13,18576833 | |
14 | pravidelný čtrnáctiúhelník | 15,33450194 | |
15 | pravidelný patnáctiúhelník | 17,64236291 | |
16 | pravidelný šestnáctiúhelník | 20,10935797 | |
17 | pravidelný sedmnáctiúhelník | 22,73549190 | |
18 | pravidelný osmnáctiúhelník | 25,52076819 | |
19 | pravidelný devatenáctiúhelník | 28,46518943 | |
20 | pravidelný dvacetiúhelník | 31,56875757 |
Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.[2]
Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky editovat
Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).
Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.
- pentagram - {5/2}
- hexagram - {6/2}
- heptagram - {7/2} a {7/3}
- oktagram - {8/2} a {8/3}
- enneagram - {9/2}, {9/3} a {9/4}
- dekagram - {10/2}, {10/3} a {10/4}
- hendekagram - {11/2}, {11/3}, {11/4} a {11/5}
- dodekagram - {12/2}, {12/3}, {12/4} a {12/5}
Reference editovat
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regular polygon na anglické Wikipedii.
- ↑ Mathworlds [online]. Dostupné online.
- ↑ Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
Literatura editovat
- Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 34-37
Externí odkazy editovat
- Obrázky, zvuky či videa k tématu pravidelný mnohoúhelník na Wikimedia Commons
- Pravidelný mnohoúhelník v encyklopedii MathWorld (anglicky)