Plocha
Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.
Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického tělesa.
Plochy v euklidovském prostoru editovat
V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici
- ,
kde je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.
Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.
Singulární bod, v němž funkce má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.
Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.
Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.
Implicitní rovnice plochy editovat
Implicitní rovnice plochy má tvar
Parametrické rovnice editovat
Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic
Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž jsou parametry plochy. Každou dvojici z určitého oboru nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle a .
Explicitní rovnice plochy editovat
Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar
- ,
pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.
Základní rovnice plochy editovat
Vztahy mezi normálou plochy , rádiusvektorem a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou uvést v různých tvarech.
Weingartenovy rovnice plochy editovat
Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů a .
kde jsou základní veličiny plochy prvního řádu a jsou základní veličiny plochy druhého řádu.
Gaussovy rovnice plochy editovat
Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru .
kde jsou základní veličiny plochy prvního řádu a jsou základní veličiny plochy druhého řádu.
Codazziho rovnice plochy editovat
Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu a základními veličinami plochy druhého řádu .
Vlastnosti editovat
- Zavedeme matici
Body plochy, v nichž má tato matice hodnost jsou regulárními body. Je-li hodnost matice , pak jde o singulární body.
- Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost , pak plochu označujeme jako hladkou.
Související články editovat
Externí odkazy editovat
- Obrázky, zvuky či videa k tématu plocha na Wikimedia Commons
- Téma Plocha ve Wikicitátech
- Slovníkové heslo plocha ve Wikislovníku
- Encyklopedické heslo Plocha v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích