Peanova aritmetika
Peanova aritmetika (PA) je jeden z axiomatických systémů formální teorie aritmetiky. Jde o jednu z nejdůležitějších součástí matematické logiky — slouží například k důkazu slavných Gödelových vět o neúplnosti. Rozšiřuje axiomatiku Robinsonovy aritmetiky o axiomatické schéma indukce. Pojmenována je po italském matematikovi Giuseppem Peanovi.
Axiomy editovat
(PA) je teorie v jazyce aritmetiky. Jejími axiomy jsou axiomy (Q1)–(Q7) Robinsonovy aritmetiky a navíc všechny instance následujícího axiomatického schématu pro formuli jazyka aritmetiky:
- (schéma indukce)
Slovy: Pokud formule platí pro a zároveň z platnosti formule pro plyne platnost pro následníka potom formule platí pro všechna .
Jelikož toto schéma kvantifikuje přes formule , což na logické úrovni odpovídá predikátům, tak predikátová logika prvního řádu není dostatečně expresivní pro formalizaci Peanovy aritmetiky a je nutné použít nějakou logiku vyššího řádu. To má praktické důsledky například při snahách o formalizaci aritmetiky pro automatické dokazovače a proof assistanty.
Vlastnosti editovat
- Peanova aritmetika je neúplná a dokonce rekurzivně nezúplnitelná teorie (tj. každá její nadteorie s rekurzivně zadanou množinou axiomů je neúplná). To je tvrzení první Gödelovy věty.
- Peanova aritmetika má (viz funkce alef) různých úplných rozšíření.
- Peanova aritmetika je nerozhodnutelná teorie.
- V Peanově aritmetice jsou nedokazatelná následující tvrzení:
- „Peanova aritmetika je bezesporná“. To říká druhá Gödelova věta.
- Goodsteinova věta
- Jisté silnější verze Ramseyovy věty.
- V Peanově aritmetice jsou dokazatelné všechny základní vlastnosti přirozených čísel jako jsou:
- komutativita a asociativita + a
- distributivita + vzhledem k
- linearita uspořádání
- existence a jednoznačnost dělení se zbytkem
- V Peanově aritmetice je definovatelná funkce , o které jsou dokazatelné všechny její přirozené vlastnosti.
- V Peanově aritmetice lze vyjádřit základní pojmy logické syntaxe i sémantiky jako jsou dokazatelnost nebo bezespornost.
- Peanova aritmetika je ekvivalentní teorii konečných množin (tj. Zermelo-Fraenkelově teorii množin, v níž je axiom nekonečna nahrazen jeho negací).
- První Stoneův prostor Peanovy aritmetiky má mohutnost kontinua.
- Peanova aritmetika nemá spočetný saturovaný model.
