Chceme-li aproximovat funkci danou svými body
x
0
⋯
x
n
{\displaystyle x_{0}\cdots x_{n}}
interpolace procházela zadanými body, použijeme aproximaci interpolačním polynomem . Tato interpolace nám poslouží k získání přibližné hodnoty funkce v libovolném bodě intervalu
<
x
0
,
x
n
>
{\displaystyle <x_{0},x_{n}>}
Příklad interpolace polynomem - interpolační funkce vždy prochází všemi známými body funkce Tvar Newtonova interpolačního polynomu:
N
n
(
x
)
=
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
)
+
a
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
+
.
.
.
+
a
n
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
.
.
.
(
x
−
x
n
−
1
)
{\displaystyle N_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+...+a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n-1})}
Koeficienty
a
0
⋯
a
n
{\displaystyle a_{0}\cdots a_{n}}
poměrných diferencí . (viz níže)
Sestavení tabulky poměrných diferencí[1]
editovat
V každém sloupci tabulky se budou nacházet poměrné diference daného řádu. Diferencemi 0. řádu budou přímo funkční hodnoty v bodech
x
i
{\displaystyle x_{i}}
Poměrné diference 1. řádu vyjádříme:
f
[
x
i
,
x
i
+
1
]
=
f
(
x
i
+
1
)
−
f
(
x
i
)
x
i
+
1
−
x
i
{\displaystyle f[x_{i},x_{i+1}]={\frac {f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}}}
Poměrné diference 2. řádu vyjádříme:
f
[
x
i
,
x
i
+
1
,
x
i
+
2
]
=
f
[
x
i
+
1
,
x
i
+
2
]
−
f
[
x
i
,
x
i
+
1
]
x
i
+
2
−
x
i
{\displaystyle f[x_{i},x_{i+1},x_{i+2}]={\frac {f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_{i},x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_{i}}}}
Ostatní diference vyjádříme analogicky.
Příklad konstrukce Newtonova interpolačního polynomu[2]
editovat
Hledáme polynom procházející body:
[
−
2
,
−
39
]
,
[
0
,
3
]
,
[
1
,
6
]
,
[
3
,
36
]
{\displaystyle [-2,-39],[0,3],[1,6],[3,36]}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
f
(
x
i
)
{\displaystyle f(x_{i})}
Diference 1. řádu
Diference 2. řádu
Diference 3. řádu
x
0
=
−
2
{\displaystyle x_{0}=-2}
f
(
x
0
)
=
−
39
=
a
0
{\displaystyle f(x_{0})=-39=a_{0}}
x
1
=
0
{\displaystyle x_{1}=0}
f
(
x
1
)
=
3
{\displaystyle f(x_{1})=3}
3
−
(
−
39
)
0
−
(
−
2
)
=
21
=
a
1
{\displaystyle {\frac {3-(-39)}{0-(-2)}}=21=a_{1}}
x
2
=
1
{\displaystyle x_{2}=1}
f
(
x
2
)
=
6
{\displaystyle f(x_{2})=6}
6
−
3
1
−
0
=
3
{\displaystyle {\frac {6-3}{1-0}}=3}
3
−
21
1
−
(
−
2
)
=
−
6
=
a
2
{\displaystyle {\frac {3-21}{1-(-2)}}=-6=a_{2}}
x
3
=
3
{\displaystyle x_{3}=3}
f
(
x
3
)
=
36
{\displaystyle f(x_{3})=36}
36
−
6
3
−
1
=
15
{\displaystyle {\frac {36-6}{3-1}}=15}
15
−
3
3
−
0
=
4
{\displaystyle {\frac {15-3}{3-0}}=4}
4
−
(
−
6
)
3
−
(
−
2
)
=
2
=
a
3
{\displaystyle {\frac {4-(-6)}{3-(-2)}}=2=a_{3}}
P
3
(
x
)
=
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
)
+
a
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
+
a
3
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
{\displaystyle P_{3}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+a_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}
P
3
(
x
)
=
−
39
+
21
(
x
+
2
)
−
6
(
x
+
2
)
x
+
2
(
x
+
2
)
x
(
x
−
1
)
{\displaystyle P_{3}(x)=-39+21(x+2)-6(x+2)x+2(x+2)x(x-1)}
Vlastnosti interpolační metody
editovat
Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti Lagrangeově interpolaci výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty
a
k
{\displaystyle a_{k}}
Související články
editovat
↑ RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.; Mgr. Irena Růžičková. Matematika 3 . [s.l.]: [s.n.] Dostupné online . Kapitola 6.1.3, s. 64. [nedostupný zdroj ↑ Numerical Analysis for Engineering: 5.3 Newton Polynomials [online]. [cit. 2012-10-14]. Dostupné online . 
![{\displaystyle f[x_{i},x_{i+1}]={\frac {f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de59bd4b030f193154cd7d6a9e750571844ac3c)
![{\displaystyle f[x_{i},x_{i+1},x_{i+2}]={\frac {f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_{i},x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c859b285c9fa39106c48cc33bd4c3cc083c27f1b)
![{\displaystyle [-2,-39],[0,3],[1,6],[3,36]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ef129ea78371a62069b6f4cc06f54dcf29b8b5)
