Morerova věta
Morerova věta (Giacinto Morera) je matematické tvrzení z oblasti komplexní analýzy. Dává nutnou a postačující podmínku pro holomorfnost spojité funkce na souvislé otevřené množině.
Přesné znění editovat
Nechť G je otevřená souvislá množina a f funkce spojitá na G. Pak f je holomorfní na G, právě když pro každý trojúhelník je , kde je hranice trojúhelníku .
Důkaz editovat
Implikace zleva doprava plyne například z Cauchyovy věty nebo z Goursatova lemmatu.
Pro implikaci zprava doleva dokazujme holomorfnost v daném bodě . Volme okolo kruh . Definujme na K funkci F vztahem
- , kde je parametrizace úsečky
F díky předpokladu splňuje na K, tedy F je na K holomorfní a díky Cauchyovu vzorci na kruhu je i f holomorfní na K, tedy speciálně v .
Důsledky editovat
Z Morerovy věty snadno plyne takzvaná Weierstrassova věta, která říká, že lokálně stejnoměrná limita holomorfních funkcí je holomorfní. Z této věty pak vyplývá holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako součet řady holomorfních funkcí. Příkladem může být Riemannova zeta funkce
V kombinaci s Fubiniovou větou může Morerova věta prokázat holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako integrál holomorfních funkcí - například Gamma funkce
Související články editovat
Reference editovat
- Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000
Externí odkazy editovat
- Morerova věta v encyklopedii MathWorld (anglicky)