Moivreova (čti [mwavʁova] IPA ) věta říká, že pro libovolné komplexní číslo (a speciálně tedy i reálné číslo) x a libovolné celé číslo n platí:
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
.
{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}
kde i je imaginární jednotka .
Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní čísla s goniometrií .
Výraz
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle \cos x+i\sin x}
se někdy zkracuje na
c
i
s
x
{\displaystyle \mathrm {cis} \ x}
.
Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních částí je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx ) a sin(nx ) pomocí cos(x ) a sin(x ).
Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n -té odmocniny jedničky , tedy k nalezení takového komplexního čísla z , pro které platí zn = 1.
Abraham de Moivre byl dobrým přítelem Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676 .
Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce e ix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.
Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.
Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru
z
=
A
(
cos
x
+
i
sin
x
)
,
{\displaystyle z=A(\cos x+i\sin x),\,}
pak všech jeho
n
{\displaystyle n\,\!}
odmocnin
n
{\displaystyle n\,\!}
-tého stupně lze zapsat jako
z
1
/
n
=
(
A
(
cos
x
+
i
sin
x
)
)
1
/
n
=
{
A
1
/
n
(
cos
(
x
+
2
k
π
n
)
+
i
sin
(
x
+
2
k
π
n
)
)
:
0
≤
k
≤
n
−
1
}
{\displaystyle z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}=\{A^{1/n}(\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)):0\leq k\leq n-1\}}
Uvažujme tři případy:
Pro n > 0 použijeme indukci . Pro n = 1 rovnost evidentně platí. Uvažujme indukční krok n → n 0 + 1
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
0
+
1
{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n_{0}+1}\,}
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
0
(
cos
x
+
i
sin
x
)
{\displaystyle =(\cos x+i\sin x)^{n_{0}}(\cos x+i\sin x)\,}
=
(
cos
(
n
0
x
)
+
i
sin
(
n
0
x
)
)
(
cos
x
+
i
sin
x
)
{\displaystyle =(\cos(n_{0}x)+i\sin(n_{0}x))(\cos x+i\sin x)\,}
(z indukčního předpokladu)
=
cos
(
n
0
x
)
cos
x
−
sin
(
n
0
x
)
sin
x
+
i
(
cos
(
n
0
x
)
sin
x
+
sin
(
n
0
x
)
cos
x
)
{\displaystyle =\cos(n_{0}x)\cos x-\sin(n_{0}x)\sin x+i(\cos(n_{0}x)\sin x+\sin(n_{0}x)\cos x)\,}
Zde použijeme goniometrické součtové vzorce : sin(x + y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) a cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y).
=
cos
(
(
n
0
+
1
)
x
)
+
i
sin
(
(
n
0
+
1
)
x
)
{\displaystyle =\cos((n_{0}+1)x)+i\sin((n_{0}+1)x)\,}
Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n 0 + 1, jestliže platí pro n 0 , a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená .
Pro n = 0 rovnost platí, protože
cos
(
0
x
)
+
i
sin
(
0
x
)
=
1
+
i
⋅
0
=
1
{\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i\cdot 0=1}
a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.
Pro n < 0 vezměme přirozené m takové, aby n = −m . Potom
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
−
m
{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}\,=(\cos x+i\sin x)^{-m}\,}
=
1
(
cos
x
+
i
sin
x
)
m
=
1
(
cos
(
m
x
)
+
i
sin
(
m
x
)
)
{\displaystyle ={\frac {1}{(\cos x+i\sin x)^{m}}}={\frac {1}{(\cos(mx)+i\sin(mx))}}\,}
(shora)
=
cos
(
m
x
)
−
i
sin
(
m
x
)
{\displaystyle =\cos(mx)-i\sin(mx)\,}
=
cos
(
−
m
x
)
+
i
sin
(
−
m
x
)
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
.
{\displaystyle =\cos(-mx)+i\sin(-mx)\,=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}
Tvrzení tedy platí pro všechna n celá. Q.E.D.
Poznámka: Moivreova věta je ve skutečnosti trochu obecnější, pokud by z a w byla čísla komplexní , pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jednou z (více) možných úprav výrazu (cos z + i⋅sin z)w .
Související články
editovat