Minimální polynom (lineární algebra)

V lineární algebře se rozumí minimálním polynomem čtvercové matice $A$ řádu $n$ nad tělesem $T$ monický polynom $p(x)$ co nejmenšího stupně takový, že $p(A)=0$. Každý jiný polynom $q(x)$ splňující $q(A)=O$ je pak násobkem polynomu $p$.

Pro minimální polynom a prvek $\lambda \in T$ jsou následující tvrzení ekvivalentní:

1. $\lambda$ je kořen $p(x)$
2. $\lambda$ je kořen charakteristického polynomu matice $A$
3. $\lambda$ je vlastní číslo matice $A$

Z toho nevyplývá, že jsou minimální a charakteristický polynom vždy stejné. Například $4I_{n}$ (čtyřnásobek jednotkové matice řádu $n$) má charakteristický polynom $(x-4)^{n}$, ale minimální polynom $x-4$ (neboť $4I_{n}-4I_{n}=0$), tedy pro $n\geq 2$ jsou v tomto případě charakteristický a minimální polynom různé.

Portály: Matematika