Matice přechodu

Matice přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru je nástroj pro snadný převod souřadnic vektorů nebo bodů z jedné souřadné soustavy do druhé. Ve spojení s inverzní maticí se používá k vyjádření lineárního zobrazení v jiné soustavě souřadnic. Toto usnadňuje například modelování fyzikálních polí v ortotropních materiálech.

Matice přechodu pro otočení soustavy souřadnic.

Transformace souřadnic

Budeme uvažovat dvě soustavy souřadnic pro vektory ve vektorovém prostoru. Jsou-li $X$ a $X'$ souřadnice téhož vektoru ve dvou různých souřadných soustavách ${\mathcal {B}}$ a ${\mathcal {B}}'$, je možné pomocí matice přechodu $P$ pro přechod od báze ${\mathcal {B}}$ k ${\mathcal {B}}'$ psát $X=PX'$. Matice $P$ má tedy ve sloupcích souřadnice vektorů báze ${\mathcal {B}}'$ vyjádřené v bázi ${\mathcal {B}}$.

Příklad

Matice přechodu je ilustrována na obrázku. Soustava ${\mathcal {B}}$ má osy vodorovně a svisle, odpovídá šedé mřížce. Soustava ${\mathcal {B}}'$ je pootočená proti směru hodinových ručiček a znázorněna modrou mřížkou. Počátek je pro obě soustavy ve středu obrázku a proto můžeme místo vektorů pracovat i s body. Jednotkové vektory soustavy ${\mathcal {B}}'$ jsou znázorněny červenou a zelenou barvou. Matice přechodu je matice, jejíž sloupce jsou souřadnice těchto vektorů v šedé soustavě ${\mathcal {B}}$ a je v obrázku vlevo nahoře. Vektor ${\vec {u}}$ je součtem trojnásobku prvního a dvojnásobku druhého bázového vektoru soustavy ${\mathcal {B}}'$. To definuje souřadnice vektoru v soustavě ${\mathcal {B}}'$. Souřadnice v soustavě ${\mathcal {B}}$ je možné najít po dosazení souřadnic vektorů ${\vec {i}}$ a ${\vec {j}}$ v bázi ${\mathcal {B}}$ do vztahu ${\vec {u}}=3{\vec {i}}+2{\vec {j}}$. Protože souřadnice vektorů ${\vec {i}}$ a ${\vec {j}}$ tvoří sloupce matice přechodu, odpovídá tento zápis maticovému součinu zapsanému v levém dolním rohu obrázku.

Transformace lineárního zobrazení

Má-li zobrazení v bázi ${\mathcal {B}}$ matici $A$, platí pro vzor $X$ a obraz $Y$ vztah $Y=AX$. V bázi ${\mathcal {B}}'$ poté platí $Y'=(P^{-1}AP)X'$ a matice $P^{-1}AP$ je maticí téhož zobrazení v soustavě ${\mathcal {B}}'$. V technicky významných případech je transformace realizována pootočením a v takovém případě je matice přechodu ortogonální a její inverzní matice $P^{-1}$ je rovna matici transponované $P^{T}$.

Využití matice přechodu ve fyzice a v technické praxi

Transformace je výhodná zejména pokud bázi nové soustavy souřadnic tvoří vlastní vektory zobrazení. V takové bázi je matice zobrazení diagonální a mimodiagonální prvky se neuplatní. Srovnej obecnou difuzní rovnici, ve které vystupuje i smíšená druhá derivace a matematickou formulaci rovnice vedení tepla, kde se již předpokládá vhodná volba soustavy souřadnic, všechny druhé derivace jsou podle jedné proměnné a smíšené derivace se nevyskytují.

V technické praxi v konstitutivních zákonech pro ortotropní materiály bývá obvyklé tabelovat hodnoty pro vlastní směry materiálu a pro případné výpočty v jiných souřadných soustavách se příslušné veličiny přepočítají pomocí matice přechodu. Kromě přímého přístupu pomocí matice transformace je možné využít i další inženýrské techniky produkující jinými prostředky stejné výsledky, například použití směrových kosinů (každá komponenta matice přechodu vyjadřuje kosinus úhlu mezi jednou osou staré a jednou osou nové soustavy souřadnic) nebo Mohrovy kružnice. Například pro dřevo stačí určit tři součinitele vedení tepla v axiálním, radiálním a tangenciálním směru. Pokud materiál modelujeme v souřadné soustavě mající osy v těchto směrech, je matice součinitele tepelné vodivosti diagonální. Pokud je nutné studovat materiál v jiné souřadné soustavě, například kvůli geometrickým vlastnostem, přepočet do jiné soustavy realizuje právě matice přechodu.

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Matice přechodu na Wikimedia Commons

Související články

• Báze (lineární algebra)

Autoritní data	GND: 4144107-2

Portály: Matematika