Materiálová derivace

Uvažujme určitou fyzikální veličinu Φ spjatou s hmotnou částicí kontinua, která je obecně proměnná v čase. Podle uvažovaného popisu (lagrangeovského i eulerovského), lze definovat následující derivace:

Lokální derivace

${\frac {\delta \Phi }{\delta t}}={\frac {\partial \Phi (y,t)}{\partial t}}$,

kde y značí prostorovou souřadnici. Tato derivace charakterizuje změnu veličiny Φ v pevném bodě prostoru.

Materiálová derivace

${\frac {D\Phi }{Dt}}={\frac {\partial \Phi (x,t)}{\delta t}}$

tato derivace značí změnu Φ dané hmotné částice. V této rovnosti x značí materiálovou souřadnici a je pevné (x=(x¹,x²,x³)).

Mezi oběma derivacemi existuje vztah, který získáme užitím transformačního vztahu popisujícího pohyb kontinua a vyjadřujícího časovou závislost mezi oběma souřadnicovými systémy:: yⁱ=yⁱ(x¹,x²,x³,t) (uvažujme pouze kartézský souřadnicový systém). Platí

${\frac {D\Phi }{Dt}}={\frac {\partial \Phi (y,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y^{i}}}{\frac {\partial y^{i}}{\partial t}}={\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y^{i}}}v^{i}$,

kde jsme derivaci: $\partial y^{i}/\partial t$ označili, jak je to běžné, jako rychlost dané částice kontinua.