Laguerrovy polynomy

Laguerrovy polynomy, pojmenované po Edmondu Laguerrovi (1834 – 1886), je jeden z ortogonálních systémů polynomů. Využívají se například v kvantové mechanice pro popis vlnové funkce odpovídající stavům atomu vodíku.

Definice

Laguerrovy polynomy se obvykle definují jako soustava reálných polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

$(p,q)\mapsto \int \limits _{0}^{\infty }p(x)q(x)e^{-x}dx,$

přičemž n-tý Laguerrův polynom $L_{n}(x)$ je polynom stupně n

Obecnějším způsobem jako soustavu polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

$(p,q)\mapsto \int \limits _{0}^{\infty }p(x)q(x)x^{a}e^{-x}dx$

s $a>-1$ získáme zobecněné či přidružené Laguerrovy polynomy $L_{n}^{(a)}(x)$.

Další vztahy pro Laguerrovy polynomy $L_{n}(x)$ a $L_{n}^{(a)}$, které se někdy uvádějí jako definice, jsou

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n}\mathrm {e} ^{-x}),$

$L_{n}^{(a)}(x)={\frac {x^{-a}\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n+a}\mathrm {e} ^{-x}).$

Explicitně se dají definovat vztahy

$L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},$

$L_{n}^{(a)}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n+a \choose n-k}{\frac {x^{k}}{k!}}.$

Někteří autoři definují Laguerrovy polynomy zvětšené faktorem $n!$:

$L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{(-1)}^{k}{\frac {n^{2}{(n-1)}^{2}\cdots {(k+1)}^{2}}{(n-k)!}}x^{k}.$

Vlastnosti

Laguerrovy polynomy $L_{n}(x)$ jsou kanonickými řešeními Laguerrovy diferenciální rovnice

$xy^{\prime \prime }+(1-x)y^{\prime }+ny=0$

Libovolné polynomiální řešení této rovnice je součtem Laguerrových polynomů.

Laguerrovy polynomy v nízkých dimenzích

Prvních šest Laguerrových polynomů

Následuje tabulka prvních několika Laguerrových polynomů:

n	$L_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,$
3	${\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,$
4	${\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,$
5	${\scriptstyle {\frac {1}{120}}}({\scriptstyle -x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)}\,$
6	${\scriptstyle {\frac {1}{720}}}({\scriptstyle x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720})\,$

Související články

• Ortogonální polynomy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Laguerrovy polynomy na Wikimedia Commons

Autoritní data	BNE: XX5170103 BNF: cb12390508z (data) GND: 4293931-8 LCCN: sh85073969 NLI: 987007550692005171 SUDOC: 03299155X

Portály: Matematika