Kombinace

Kombinace je základní pojem z kombinatoriky. k-Členná kombinace z n prvků je skupina k prvků, vybraná z n různých prvků, u níž nezáleží na jejich pořadí. Od variace se liší tím, že je neuspořádaná.

Kombinace bez opakování

Počet kombinací $k$-té třídy z $n$-prvků bez opakování, neuspořádaných $k$-tic vybraných z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou, je

$C_{k}(n)={n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$,

kde symbol ${n \choose k}$ představuje kombinační číslo, „n nad k“.

Příklady

Mějme skupinu tří prvků $a,b,c$, tzn. $n=3$.

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat třemi možnými způsoby, tzn. vybereme $a$ nebo $b$ nebo $c$. Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. $k=1$, a tedy počet výběrů je roven

$C_{1}(3)={3 \choose 1}={3! \over {1!\cdot (3-1)!}}={3\cdot 2! \over 2!}=3$

Chceme-li z uvedené trojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: $ab$, $ac$, $bc$. Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy $k=2$) bez opakování. Pro počet dvojic pak dostáváme

$C_{2}(3)={3 \choose 2}=3$

Pokud chceme z uvedené trojice prvků vybrat vždy tři, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat pouze jedinou trojici prvků: $abc$. Jedná se o kombinaci třetí třídy (tedy $k=3$) bez opakování. Pro počet trojic tedy platí

$C_{3}(3)={3 \choose 3}=1$

Jaký je počet možných různých tahů Sportky, kde se z celkem 49 čísel náhodně vybírá 6 čísel?

$C_{6}(49)={49 \choose 6}={49! \over {6!\cdot (49-6)!}}={49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43! \over {720\cdot 43!}}=13~983~816$

Kombinace s opakováním

Počet kombinací $k$-té třídy z $n$ prvků s opakováním, tzn. každý prvek se ve výběru může objevit vícekrát, je určen vztahem

$C_{k}^{\prime }(n)={{(n+k-1)} \choose n-1}={{(n+k-1)} \choose k}={(n+k-1)! \over k!(n-1)!}$

Příklady

Mějme skupinu dvou prvků $a,b$, tzn. $n=2$.

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat dvěma možnými způsoby, tzn. vybereme $a$ nebo $b$. Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. $k=1$, a tedy počet výběrů je roven

$C_{1}^{\prime }(2)={{(2+1-1)} \choose 1}={2 \choose 1}=2$

Je vidět, že u kombinací první třídy není třeba rozlišovat, zda jsou s opakováním nebo bez opakování.

Chceme-li z uvedené dvojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a každý prvek můžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: $aa$, $ab$, $bb$. Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy $k=2$) s opakováním. Pro počet dvojic pak dostáváme

$C_{2}^{\prime }(2)={{(2+2-1)} \choose 2}={3 \choose 2}=3$

Obdobně bychom dostali $C_{3}^{\prime }(2)={{(2+3-1)} \choose 3}={4 \choose 3}=4$, atd.

Literatura

• Odmaturuj z matematiky. [s.l.]: Didaktis, 2003 (druhé opravené vydání). ISBN 80-86285-97-9. Kapitola 35.Kombinatorika. 

Související články

• Permutace
• Variace

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kombinace na Wikimedia Commons
• Téma Kombinace ve Wikicitátech
• Slovníkové heslo kombinace ve Wikislovníku

Autoritní data	PSH: 7156