Integrační faktor

V matematice je integrační faktor funkce, kterou je potřeba znásobit danou rovnici obsahující diferenciály, abychom dostali její řešení. Používá se nejen pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, ale i v diferenciálním a integrálním počtu funkcí více proměnných, kde můžeme neexaktní diferenciál vynásobením integračním faktorem převést na exaktní (který je pak možné integrovat pro získání skalárního pole). To je zvlášť užitečné v termodynamice. Například funkce $1/\Theta$ ($\Theta$je termodynamická teplota) je integračním faktorem veličiny $Q$ (teplo). Diferenciál ${\textstyle \delta Q}$ není ve stavových proměnných totální diferenciál, kdežto ${\textstyle {\textrm {d}}{\frac {Q}{\Theta }}}$ již ano. Veličina $\int {\frac {\delta Q}{\Theta }}$ je již stavovou funkcí a až na konstantu $S_{0}$ určuje veličinu entropie.

Použití při řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu

Integrační faktory jsou užitečné pro řešení obyčejných diferenciálních rovnice, které lze vyjádřit ve tvaru

$y'+P(x)y=Q(x)$

Základní myšlenkou je najít nějakou funkci $M(x)$ nazývanou „integrační faktor“, kterou můžeme znásobit naši diferenciální rovnici, abychom levou stranu dostali pod společnou derivaci. Pro kanonické lineární diferenciální rovnice prvního řádu uvedeného tvaru použijeme integrační faktor

$M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}$

znásobení původní rovnice výrazem $M(x)$ dává

$y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}$

a použitím součinového pravidla v opačném směru lze levou stranu vyjádřit jako jedinou derivaci podle $x$

$y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s})$

Tuto skutečnost použijeme pro zjednodušení našeho výrazu na

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}$

Pak obě strany integrujeme vzhledem k $x$, přičemž nejdříve přejmenujeme $x$ na $t$, takže dostaneme

$ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)\mathrm {d} s}\,\mathrm {d} t+C$

Přesunutím exponenciálních funkcí na pravou stranu dostaneme obecné řešení naší obyčejné diferenciální rovnice:

$y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)\mathrm {d} s}\,\mathrm {d} t+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}$

V případě homogenní diferenciální rovnice, u níž je $Q(x)=0$, dostáváme

$y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}}}$

kde $C$ je konstanta.

Příklad

Řešte diferenciální rovnici

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

Vidíme, že v tomto případě $P(x)={\frac {-2}{x}}$

$M(x)=e^{\int P(x)\,\mathrm {d} x}$

$M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,\mathrm {d} x}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$ (všimněte si, že nemusíme používat integrační konstantu – stačí nám libovolné řešení, nepotřebujeme obecné řešení)

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

Znásobením obou stran výrazem $M(x)$ dostaneme

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

${\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0$

${\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0$

${\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.$

Obrácením podílového pravidla dostaneme

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

nebo

${\frac {y}{x^{2}}}=C\,$

což dává

$y\left(x\right)=Cx^{2}.$

Obecné použití

Integrační faktor je libovolný výraz, kterým násobíme diferenciální rovnici, abychom umožnili její integraci. Není omezen na lineární rovnice prvního řádu. Například u nelineární rovnice druhého řádu

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}=Ay^{2/3}$

lze jako integrační faktor použít ${\tfrac {dy}{dt}}$:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=Ay^{2/3}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}.$

Pro integraci si všimněte, že obráceným použitím řetězového pravidla lze obě strany rovnice vyjádřit jako derivace:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).$

odtud

$\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.$

Tento tvar může být v některých případech užitečnější. Provedením separace proměnných dostaneme:

$\int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1};$

toto je implicitní řešení, které zahrnuje neelementární integrál. Pro svou složitost pravděpodobně není příliš užitečné, ale jedná se o obecné řešení. Stejnou metodu lze použít pro výpočet periody jednoduchého kyvadla.

Reference

• MUNKHAMMAR, Joakim. Integrating Factor. MathWorld. Dostupné online. .

Související články

• Variace konstant
• Příklady diferenciálních rovnic
• Součinové pravidlo
• Exaktní diferenciál