Hypotéza singulárních kardinálů

Hypotéza singulárních kardinálů (někdy také označovaná zkratkou SCH) je tvrzení z oboru teorie množin, které (pokud je přijato) zjednodušuje výpočet kardinální mocniny.

Toto tvrzení bylo formulováno R.Solovayem v roce 1974 v následujícím tvaru:

Formulace hypotézy

Pro každý singulární kardinál $\aleph _{\alpha }\,\!$ platí
$\gimel (\aleph _{\alpha })=max(\aleph _{\alpha +1},2^{cf(\aleph _{\alpha })})\,\!$

• $\aleph _{\alpha }\,\!$ je zápis pro funkci alef používanou pro označování nekonečných kardinálů
• $\gimel \,\!$ je zápis pro funkci gimel
• $cf(\aleph _{\alpha })\,\!$ je zápis pro kofinál kardinálního čísla

Hypotézu lze ekvivalentně formulovat také:

• Jestliže pro nekonečné kardinální číslo $\kappa$ platí nerovnost $2^{\operatorname {cf} \kappa }<\kappa$, pak $\kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }=\kappa ^{+}$, kde $\kappa ^{+}$ značí následníka $\kappa$.

Postavení hypotézy v teorii množin

Jak sám název napovídá, jedná se o hypotézu – tj. tvrzení, které zatím nebylo dokázáno z axiomů teorie množin a jsou dobré důvody se domnívat, že ani dokazatelné není.
SCH je důsledkem zobecněné hypotézy kontinua, což mimo jiné znamená, že je bezesporná s axiomy ZF – to vyplývá z bezespornosti samotné zobecněné hypotézy kontinua. Mezi oběma hypotézami ale neplatí ekvivalence – SCH je tedy „slabší“ tvrzení. Menachem Magidor roku 1977 dokázal, že SCH není dokazatelná v ZFC, pokud je existence superkompaktního kardinálu bezesporná s axiomy ZFC.

Význam hypotézy

Hlavním významem SCH je, že podstatným způsobem zjednodušuje výpočet kardinální mocniny. Jsou-li $\aleph _{\alpha }\,\!$ a $\aleph _{\beta }\,\!$ libovolné nekonečné kardinály, pak (za předpokladu přijetí SCH) platí:

• $\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }}\,\!$ , pokud $\aleph _{\alpha }\leq 2^{\aleph _{\beta }}\,\!$
• $\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }\,\!$ , pokud $\aleph _{\alpha }>2^{\aleph _{\beta }}\,\!$ a $\aleph _{\beta }<cf(\aleph _{\alpha })\,\!$
• $\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}\,\!$ , pokud $\aleph _{\alpha }>2^{\aleph _{\beta }}\,\!$ a $cf(\aleph _{\alpha })\leq \aleph _{\beta }\,\!$

Související články

• Kardinální aritmetika
• Funkce gimel
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Singulární kardinál

Portály: Matematika