Gramova matice

V lineární algebře se Gramovou maticí vektorů $v_{1},\dots ,v_{n}$ v unitárním prostoru V rozumí matice jejich skalárních součinů, jejíž prvky jsou dány předpisem $G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle$.

Jedním z hlavních použití Gramovy matice je zjištění lineární nezávislosti: dané vektory jsou lineárně nezávislé právě když je determinant Gramovy matice nenulový.

Gramova matice nese jméno dánského matematika Jørgena Pedersena Grama.

Vlastnosti

Gramova matice reálných vektorů je vždy pozitivně semidefinitní a každá pozitivně semidefinitní matice je Gramovou maticí nějaké množiny vektorů. Tato množina vektorů nemusí být jednoznačně dána; například Gramova matice jakékoliv ortonormální báze je jednotková matice.

Determinant G. matice se nazývá Gramův determinant (gramián). Je roven druhé mocnině vnějšího součinu daných vektorů. Jeho druhá odmocnina je tedy rovna objemu rovnoběžnostěnu určeného těmito vektory.